Spójność a domknięcie

Niech $ X $ będzie przestrzenią topologiczną, a $ C $ jej podzbiorem spójnym. Jeżeli zbiór $ A $ zawiera $ C $ i jednocześnie zawiera się w domknięciu zbioru $ C $, to znaczy \[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \] wówczas zbiór $ A $ również jest spójny w przestrzeni $ X $.

Twierdzenie to dobrze oddaje intuicję stojącą za pojęciem spójności. Jeżeli zaczynamy od zbioru, który nie daje się „rozdzielić", i dołączamy do niego jedynie punkty ściśle z nim związane topologicznie, to nie ma mechanizmu, który mógłby wprowadzić rozdzielenie.

Zbiór $ C $ jest spójny, a więc nie dopuszcza żadnej separacji wewnętrznej. Ponieważ $ A $ zawiera $ C $, nie usuwamy żadnej jego części, a jedynie ewentualnie go rozszerzamy.

Kluczową rolę odgrywa tu warunek $ A \subset \operatorname{Cl}(C) $. Oznacza on, że każdy nowo dołączony punkt pozostaje „w pobliżu" zbioru $ C $. W sensie topologicznym każde jego otwarte otoczenie musi przecinać $ C $.

Dzięki temu spójność zbioru $ C $ przechodzi w sposób naturalny na cały zbiór $ A $.

Przykład konkretny
Dowód

Przykład konkretny

Rozważmy przestrzeń topologiczną $ X = \mathbb{R} $ z topologią standardową i przyjmijmy jako zbiór $ C $ przedział otwarty.

$$ C = (0,1) $$

Zbiór $ C $ jest spójny w $ \mathbb{R} $, ponieważ każdy przedział na osi liczb rzeczywistych jest zbiorem spójnym.

Domknięcie zbioru $ C $ ma postać

\[ \operatorname{Cl}(C) = [0,1] \]

Wybierzmy teraz zbiór $ A $ taki, że $ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) $. Na przykład:

\[ A = (0,1] \]

Łatwo sprawdzić, że

$$ C \subset A $$

$$ (0,1) \subset (0,1] $$

oraz że

$$ A \subset \operatorname{Cl}(C) $$

$$ (0,1] \subset [0,1] $$

Wynika stąd, że zbiór $ A = (0,1] $ jest również spójny w $ \mathbb{R} $.

Intuicyjnie rzecz ujmując, do zbioru $ (0,1) $ dodaliśmy jedynie punkt $ 1 $, który należy do jego domknięcia. Taki zabieg nie wprowadza żadnego rozdzielenia.

Zbiór $ A $ zachowuje więc własność spójności.

Dowód

Niech $ X $ będzie przestrzenią topologiczną, a $ C \subset X $ podzbiorem spójnym.

Niech $ A $ będzie zbiorem spełniającym warunek

\[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \]

Pokażemy, że $ A $ jest spójny w $ X $. Załóżmy przeciwnie, że $ A $ nie jest spójny.

Wówczas istnieje separacja zbioru $ A $, czyli dwa zbiory otwarte $ U $ i $ V $ w $ X $ takie, że:

$ U $ i $ V $ są otwarte w $ X $
$ A \subset U \cup V $
$ A \cap U \neq \varnothing $ oraz $ A \cap V \neq \varnothing $
$ A \cap U \cap V = \varnothing $

Ponieważ $ C \subset A $, otrzymujemy

\[ C = (C \cap U) \cup (C \cap V) \]

oraz

\[ (C \cap U) \cap (C \cap V) = C \cap U \cap V = \varnothing \]

Zbiory $ C \cap U $ i $ C \cap V $ są otwarte w $ C $ w topologii indukowanej, gdyż powstają jako przecięcia z otwartymi zbiorami przestrzeni $ X $.

Oznaczałoby to, że $ C $ jest separowalny, chyba że jeden z tych zbiorów jest pusty.

Jest to sprzeczne z założeniem, że $ C $ jest spójny. Zatem

\[ C \cap U = \varnothing \quad \text{lub} \quad C \cap V = \varnothing \]

Bez straty ogólności przyjmijmy, że

\[ C \cap V = \varnothing \]

Wtedy

\[ C \subset U \]

Ponieważ $ A \cap V \neq \varnothing $, istnieje punkt

\[ x \in A \cap V \]

Z warunku $ A \subset \operatorname{Cl}(C) $ wynika, że

\[ x \in \operatorname{Cl}(C) \]

Z drugiej strony $ x \in V $, a $ V $ jest zbiorem otwartym, który nie przecina $ C $.

Jest to sprzeczne z definicją domknięcia, zgodnie z którą każde otwarte otoczenie punktu należącego do $ \operatorname{Cl}(C) $ musi przecinać $ C $.

\[ x \in V \ \text{otwarty}, \ V \cap C = \varnothing \quad \Rightarrow \quad x \notin \operatorname{Cl}(C) \]

Otrzymana sprzeczność dowodzi, że założenie o niespójności zbioru $ A $ było fałszywe.

W konsekwencji

\[ A \ \text{jest spójny w} \ X \]

co kończy dowód.

I tak dalej.