Spójność podzbiorów

Podzbiór $ A $ przestrzeni topologicznej $ X $ nazywamy spójnym w $ X $, jeżeli z topologią podprzestrzeni indukowaną przez $ X $ tworzy przestrzeń spójną. Innymi słowy, analizujemy nie sam układ punktów, lecz sposób, w jaki topologia odziedziczona po $ X $ organizuje ten układ.

Takie podejście pozwala rozszerzyć pojęcie spójności na dowolny fragment przestrzeni. Wystarczy przyjrzeć się temu, jak wygląda struktura topologiczna po ograniczeniu topologii z $ X $ do rozpatrywanego zbioru. To właśnie ta struktura decyduje, czy podzbiór zachowuje spójność.

W praktyce oznacza to, że po nadaniu topologii indukowanej sprawdzamy, czy zbioru nie da się rozdzielić na dwie części, które byłyby jednocześnie niepuste, rozłączne i otwarte w tej topologii.

Uwaga. Jeśli istnieje podział $ A $ na dwie niepuste, rozłączne i otwarte (w topologii podprzestrzeni) części, to podzbiór traci spójność. Gdy takiego podziału nie da się przeprowadzić, zbiór pozostaje spójny.

Przykład

Przyjrzyjmy się prostemu, ale pouczającemu przypadkowi. Weźmy prostą rzeczywistą $ \mathbb{R} $ z topologią standardową i rozważmy zbiór:

$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$

Zbiór ten pomija dokładnie jeden punkt: zero. Po lewej stronie mamy wszystkie liczby od $-1$ do $0$ (z wyłączeniem $0$), a po prawej liczby od $0$ do $1$ (również bez punktu $0$).

Usunięcie zaledwie jednego punktu zmienia strukturę zbioru na tyle, że dzieli się on na dwie odrębne części:

przedział $[-1,0)$,
przedział $(0,1]$.

Nazwijmy je odpowiednio:

$$ U = [-1,0) $$

$$ V = (0,1] $$

Oba podzbiory są otwarte w topologii podprzestrzeni na $ A $. Co więcej, są rozłączne i razem tworzą cały zbiór:

$$ U \cap V = \emptyset $$

$$ U \cup V = A $$

To wystarczy, by stwierdzić, że podzbiór $ A $, choć zbudowany z przedziałów znanych z analizy rzeczywistej, nie jest spójny jako podprzestrzeń $ \mathbb{R} $. Z punktu widzenia topologii decyduje tu nie długość, a obecność lub brak pojedynczego punktu, który w tym przypadku rozdziela zbiór na dwie izolowane części.