Caracterizarea mulțimilor neconexe prin mulțimi deschise ale spațiului ambient

Pe scurt, o mulțime este neconexă atunci când o putem împărți în două porți distincte folosind mulțimi deschise ale spațiului ambient. Fiecare porțiune conține elemente ale mulțimii, cele două nu se ating și, împreună, acoperă tot \(A\).

Acest criteriu este o unealtă foarte utilă: în loc să lucrăm direct cu structura internă a mulțimii, folosim mulțimile deschise ale spațiului în care se află.

Exemplu introductiv

Analizăm mulțimea:

$$ A = [0,1] \cup [2,3] $$

Este formată din două intervale separate, deci este natural să ne așteptăm că este neconexă.

Alegem două mulțimi deschise ale lui \( \mathbb{R} \):

• \(U = (-1,1.5)\)
• \(V = (1.5,4)\)

Fiecare dintre ele conține câte o componentă a lui \(A\):

$$ U \cap A = [0,1] $$

$$ V \cap A = [2,3] $$

Cele două nu se suprapun pe niciun punct al lui \(A\), astfel:

$$ (U \cap V) \cap A = \varnothing $$

Rezultatul este clar: cele două mulțimi deschise separă perfect componentele, deci \(A\) este neconexă.

Exemplul 2: două puncte izolate

Considerăm acum o mulțime foarte simplă:

$$ A = \{1, 3\} $$

Două puncte diferite nu pot forma o mulțime conexă. Putem confirma asta cu același criteriu.

Alegem:

$$ U = (0,2), \qquad V = (2,4) $$

Atunci:

$$ U \cap A = \{1\} $$

$$ V \cap A = \{3\} $$

$$ U \cap V \cap A = \varnothing $$

Avem din nou două bucăți complet separate. Mulțimea este așadar neconexă.

Exemplul 3: planul fără axa x

Considerăm:

$$ A = \{(x,y) : y>0\} \cup \{(x,y) : y<0\} $$

Este vorba despre semiplanul superior și cel inferior. Lipsa axei \(x\) rupe planul în două regiuni distincte.

Putem folosi următoarele mulțimi deschise din \( \mathbb{R}^2 \):

$$ U = \{(x,y) : y>-1\} $$

$$ V = \{(x,y) : y<1\} $$

Acestea acoperă separat semiplanul superior și semiplanul inferior, fără să aibă vreun punct comun din \(A\):

$$ (U \cap V) \cap A = \varnothing $$

Concluzia este aceeași: avem două regiuni distincte, fără continuitate între ele.

Demonstrație

A] Dacă există astfel de mulțimi deschise, mulțimea este neconexă

Presupunem că găsim două mulțimi deschise \(U\) și \(V\) care satisfac condițiile. Definim:

\[ P = U \cap A, \qquad Q = V \cap A \]

Acestea sunt nevidate, deschise în topologia de subspațiu, disjuncte și acoperă \(A\). Acesta este exact tipul de separare folosit în definiția neconexității, deci \(A\) este neconexă.

B] Dacă mulțimea este neconexă, putem găsi astfel de mulțimi deschise

Pornim din definiție. Dacă \(A\) este neconexă, există două mulțimi:

$$ P, Q \subset A $$

care sunt nevidate, deschise în topologia de subspațiu, disjuncte și satisfac \(P \cup Q = A\).

Fiind deschise în \(A\), există mulțimi deschise \(U\) și \(V\) din \(X\) care le generează:

$$ P = U \cap A, \qquad Q = V \cap A $$

Odată scris în această formă, criteriul se verifică imediat.

Concluzie

O mulțime este neconexă atunci când poate fi împărțită în două regiuni nevidate și disjuncte folosind mulțimi deschise din spațiul ambient. Această caracterizare este intuitivă, ușor de aplicat și foarte utilă în topologia generală, deoarece transformă o proprietate internă a unei mulțimi într-una care poate fi testată prin structura spațiului în care trăiește.