Imaginea unui spațiu conex printr-o aplicație continuă este conexă
Fie \( X \) un spațiu topologic conex și fie \( f : X \to Y \) o aplicație continuă. Atunci imaginea \( f(X) \) este un subspațiu conex al lui \( Y \).
Această proprietate exprimă una dintre ideile fundamentale ale topologiei: continuitatea nu poate „rupe" un spațiu. Atunci când aplicăm o funcție continuă unui spațiu conex, rezultatul își păstrează caracterul unitar.
Mai precis, dacă pornim de la un spațiu conex \( X \) și îl transformăm printr-o aplicație continuă \( f \), mulțimea obținută \( f(X) \) rămâne „dintr-o singură bucată". Continuitatea exclude apariția unor separări în componente independente.
În acest sens riguros se spune că proprietatea de conexitate este conservată de aplicațiile continue.
Ce înseamnă „conex"? Un spațiu topologic se numește conex dacă nu poate fi scris ca reuniunea a două mulțimi deschise, disjuncte și nevide. Intuitiv, un spațiu conex nu poate fi împărțit în două părți izolate. De exemplu, un segment de dreaptă este conex, în timp ce două puncte izolate alcătuiesc un spațiu neconex.
Un exemplu concret
Să considerăm spațiul topologic
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
Intervalul închis \( [0,1] \) este un spațiu conex. El poate fi privit ca un continuu, fără goluri sau întreruperi.
Definim aplicația $ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $ prin
$$ f(x) = 2x $$
Această aplicație este continuă. Imaginea sa este
$$ f([0,1]) = [0,2] $$
Mulțimea \( f(X) = [0,2] \) este tot un interval real. Prin urmare, este conexă.
Exemplul arată clar că o aplicație continuă poate modifica forma sau dimensiunea unui spațiu, dar nu îi poate distruge conexitatea.
Observație. Pentru ca o mulțime să fie neconexă, ar trebui să poată fi descompusă în două mulțimi deschise, disjuncte și nevide, a căror reuniune să coincidă cu întreaga mulțime. Acest lucru este imposibil în cazul unui interval real precum $ [0,2] $, deoarece orice tentativă de separare lasă inevitabil cel puțin un punct „între" cele două părți. De aceea, orice interval real este conex.
Exemplul 2
Să considerăm din nou spațiul
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
Intervalul \( [0,1] \) este conex.
Definim de această dată aplicația \( f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) prin
$$ f(x) = 0 $$
Aplicația \( f \) este continuă, iar imaginea sa este
$$ f(X) = \{ 0 \} $$
Din punct de vedere geometric, întregul interval \( [0,1] \) este contractat într-un singur punct ($ 0 $).
Chiar și în această situație extremă, mulțimea obținută rămâne conexă. Singletonul \( \{ 0 \} \) este nevid și nu poate fi separat în părți distincte.
Acest exemplu evidențiază faptul că o aplicație continuă poate identifica toate punctele unui spațiu, dar nu poate genera o separare.
Observație. Aplicația a contractat intervalul fără a-l fragmenta. În general, o aplicație continuă poate identifica puncte diferite sau poate reduce dimensiunea unui spațiu, însă nu poate produce o imagine neconexă. Pentru aceasta ar fi necesară o discontinuitate.
Demonstrația
Demonstrația se bazează pe un raționament prin reducere la absurd.
Să presupunem că \( X \) este un spațiu conex, dar că imaginea sa printr-o aplicație continuă, notată \( f(X) \), nu este conexă.
Dacă \( f(X) \) nu ar fi conexă, ar exista două mulțimi deschise \( U \) și \( V \) care ar constitui o separare a lui \( f(X) \). Mai precis, am avea
\( f(X) \subset U \cup V \),
iar fiecare punct din \( f(X) \) ar aparține exact uneia dintre cele două mulțimi.
Urmează pasul esențial. Deoarece \( f \) este continuă, preimaginea oricărei mulțimi deschise este o mulțime deschisă. Rezultă astfel că:
- \( f^{-1}(U) \) este o mulțime deschisă în \( X \)
- \( f^{-1}(V) \) este o mulțime deschisă în \( X \)
Aceste două mulțimi sunt disjuncte, nevide, iar reuniunea lor coincide cu întregul spațiu \( X \).
Obținem astfel o separare a lui \( X \) în două mulțimi deschise, disjuncte și nevide, ceea ce contrazice ipoteza că \( X \) este conex.
Contradicția arată că presupunerea inițială este falsă. Prin urmare, imaginea unui spațiu conex printr-o aplicație continuă este, în mod necesar, conexă.
Observație. Intuitiv, o aplicație continuă poate îndoi, întinde sau comprima un spațiu, dar nu îl poate tăia și nici fragmenta. Separarea unui spațiu în părți independente presupune întotdeauna existența unei discontinuități.
Și așa mai departe.
