Conexitate și închidere

Fie $ X $ un spațiu topologic și fie $ C $ un subansamblu conex al lui $ X $. Dacă un ansamblu $ A $ îl conține pe $ C $ și, în același timp, este inclus în închiderea lui $ C $, \[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \] atunci $ A $ este, la rândul său, un subansamblu conex al lui $ X $.

Ideea de bază este intuitivă. Dacă pornim de la un ansamblu conex și adăugăm doar puncte care rămân „lipite" de acesta, fără a introduce tăieturi sau separări, conexitatea nu are cum să se piardă.

Într-adevăr, ansamblul $ C $ este deja conex, deci nu poate fi descompus în părți separate. În plus, ansamblul $ A $ îl conține pe $ C $, ceea ce înseamnă că nu eliminăm nimic din structura inițială.

Mai mult, condiția $ A \subset \operatorname{Cl}(C) $ garantează că punctele adăugate nu sunt izolate față de $ C $. Din punct de vedere topologic, acestea sunt puncte pentru care orice vecinătate deschisă intersectează ansamblul $ C $.

Prin urmare, conexitatea lui $ C $ se transmite în mod natural ansamblului $ A $.

Un exemplu concret
Demonstrație

Un exemplu concret

Să lucrăm în spațiul topologic $ X = \mathbb{R} $, înzestrat cu topologia uzuală, și să considerăm drept $ C $ un interval deschis.

$$ C = (0,1) $$

Ansamblul $ C $ este conex în $ \mathbb{R} $, deoarece orice interval al dreptei reale este un subansamblu conex.

Închiderea lui $ C $ este

\[ \operatorname{Cl}(C) = [0,1] \]

Alegem acum un ansamblu $ A $ astfel încât $ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) $. De exemplu:

\[ A = (0,1] \]

Observăm imediat că

$$ C \subset A $$

$$ (0,1) \subset (0,1] $$

și, în același timp,

$$ A \subset \operatorname{Cl}(C) $$

$$ (0,1] \subset [0,1] $$

Prin urmare, ansamblul $ A = (0,1] $ este conex în $ \mathbb{R} $.

Intuitiv, pornind de la intervalul conex $ (0,1) $, am adăugat un singur punct, punctul $ 1 $, care se află în contact direct cu ansamblul inițial. Nu apare nicio separare.

Din acest motiv, ansamblul $ A $ rămâne conex în $ \mathbb{R} $.

Demonstrație

Fie $ X $ un spațiu topologic și fie $ C \subset X $ un subansamblu conex.

Considerăm un ansamblu $ A $ astfel încât

\[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \]

Pentru a arăta că $ A $ este conex în $ X $, procedăm prin reducere la absurd și presupunem că $ A $ nu este conex.

Dacă $ A $ nu este conex, atunci există o separare a lui $ A $. Aceasta înseamnă că există două mulțimi deschise $ U $ și $ V $ din $ X $ cu următoarele proprietăți:

$ U $ și $ V $ sunt deschise în $ X $
$ A \subset U \cup V $
$ A \cap U \neq \varnothing $ și $ A \cap V \neq \varnothing $
$ A \cap U \cap V = \varnothing $

Analizăm acum ansamblul $ C $.

Deoarece $ C \subset A $, putem scrie:

\[ C = (C \cap U) \cup (C \cap V) \]

Mai mult,

\[ (C \cap U) \cap (C \cap V) = C \cap U \cap V \subset A \cap U \cap V = \varnothing \]

Astfel, ansamblul $ C $ apare ca reuniunea a două subansambluri disjuncte.

Mulțimile $ C \cap U $ și $ C \cap V $ sunt deschise în $ C $ în raport cu topologia de subspațiu, deoarece se obțin prin intersecția lui $ C $ cu mulțimi deschise din $ X $.

Prin urmare, $ C $ ar admite o separare, cu excepția cazului în care unul dintre aceste subansambluri este vid.

Dar $ C $ este conex, deci o astfel de separare nu este posibilă.

Rezultă că

\[ C \cap U = \varnothing \quad \text{sau} \quad C \cap V = \varnothing \]

Presupunem, fără pierdere de generalitate, că

\[ C \cap V = \varnothing \]

Atunci $ C \subset U $.

Deoarece $ A \cap V \neq \varnothing $, alegem un punct

\[ x \in A \cap V \]

Din incluziunea $ A \subset \operatorname{Cl}(C) $ rezultă că

\[ x \in \operatorname{Cl}(C) \]

Pe de altă parte, $ x \in V $, iar $ V $ este deschisă în $ X $, deci este o vecinătate deschisă a lui $ x $.

Însă $ V \cap C = \varnothing $, ceea ce înseamnă că această vecinătate nu intersectează ansamblul $ C $.

Conform definiției închiderii, un punct aparține lui $ \operatorname{Cl}(C) $ dacă și numai dacă orice vecinătate deschisă a sa intersectează ansamblul $ C $.

Rezultă că $ x \notin \operatorname{Cl}(C) $, în contradicție cu afirmația anterioară.

\[ x \in V \ \text{deschis}, \ V \cap C = \varnothing \quad \Rightarrow \quad x \notin \operatorname{Cl}(C) \]

Această contradicție arată că presupunerea inițială este falsă.

Prin urmare, concluzionăm că

\[ A \ \text{este conex în} \ X \]

Demonstrația este astfel completă.

Și așa mai departe.