Conectivitatea subspațiilor

Un subansamblu $ A $ al unui spațiu topologic $ X $ este considerat conectat în $ X $ atunci când, dotat cu topologia de subspațiu moștenită din $ X $, formează un spațiu topologic conex.

Această idee extinde noțiunea de conectivitate dincolo de întregul spațiu și o aplică, într-un mod natural, oricărui subansamblu. Practic, analizăm dacă ansamblul respectiv păstrează această proprietate atunci când îl privim cu topologia indusă de $ X $.

În fond, întrebarea este simplă: subansamblul rămâne sau nu conectat atunci când îl considerăm ca subspațiu?

Notă. Pentru a verifica acest lucru, luăm ansamblul $ A $, îi atribuim topologia de subspațiu și observăm dacă poate fi împărțit în două mulțimi nevide, disjuncte și deschise în această topologie. Dacă o astfel de separare există, atunci $ A $ este disconex în $ X $. În lipsa ei, $ A $ este conex.

Un exemplu practic

Să privim dreapta reală $ \mathbb{R} $ cu topologia obișnuită și următorul ansamblu:

$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$

Aici lipsește un singur punct, zero. În rest, ansamblul reunește valorile dintre -1 și 0, fără a include 0, iar apoi valorile dintre 0 și 1, de asemenea fără 0.

Aparent minoră, absența acestui punct desparte însă ansamblul în două regiuni distincte:

intervalul $[-1,0)$
intervalul $(0,1]$

Le putem scrie astfel:

$$ U = [-1,0) $$

$$ V = (0,1] $$

În topologia de subspațiu, ambele mulțimi, $ U $ și $ V $, sunt deschise. Nu au niciun punct în comun, iar reuniunea lor acoperă întregul ansamblu. Exact acest tip de structură ne arată că avem de-a face cu un spațiu disconex.

$$ U \cap V = \emptyset $$

$$ U \cup V = A $$

Prin urmare, ansamblul $ A $, privit ca subspațiu al lui $ \mathbb{R} $, nu este conectat. Exemplul arată cât de sensibilă este conectivitatea la absența chiar și a unui singur punct.