Cálculo de integrales - Ejercicio 14

En este ejercicio se nos pide calcular la siguiente integral indefinida:

$$ \int \frac{e^{\sqrt{x}} \cdot \cos(e^{\sqrt{x}})}{\sqrt{x}} \ dx $$

Para abordar el cálculo de forma sistemática, comenzamos simplificando el integrando mediante un cambio de variable adecuado.

Introducimos el primer cambio de variable:

$$ t = \sqrt{x} $$

Calculamos a continuación el diferencial correspondiente:

$$ dt = \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \ dx $$

Observamos que en la integral aparece el factor \( \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \). Para adaptarlo a la expresión del diferencial, multiplicamos y dividimos el integrando original por 2:

$$ \int \frac{e^{\sqrt{x}} \cdot \cos(e^{\sqrt{x}})}{\sqrt{x}} \cdot \frac{2}{2} \ dx $$

$$ = 2 \cdot \int \frac{e^{\sqrt{x}} \cdot \cos(e^{\sqrt{x}})}{2 \cdot \sqrt{x}} \ dx $$

De este modo, podemos sustituir la expresión \( \frac{1}{2 \cdot \sqrt{x}} \ dx \) por \( dt \), lo que simplifica notablemente la integral:

$$ = 2 \cdot \int e^{\sqrt{x}} \cdot \cos(e^{\sqrt{x}}) \ dt $$

Aplicando ahora el cambio de variable \( t = \sqrt{x} \), la integral se reescribe como:

$$ 2 \cdot \int e^t \cdot \cos(e^t) \ dt $$

Para continuar con el cálculo, realizamos un segundo cambio de variable, que permite resolver la integral de forma directa:

$$ u = e^t $$

Derivando ambos miembros obtenemos:

$$ du = e^t \ dt $$

Gracias a esta sustitución, la integral adopta una forma elemental:

$$ 2 \cdot \int \cos(e^t) \cdot e^t \ dt = 2 \cdot \int \cos(u) \ du $$

Integrando, se obtiene:

$$ 2 \cdot \sin(u) + c $$

Deshacemos ahora el último cambio de variable sustituyendo \( u = e^t \):

$$ 2 \cdot \sin(e^t) + c $$

Y, finalmente, recordando que \( t = \sqrt{x} \), llegamos al resultado en función de la variable original:

$$ 2 \cdot \sin(e^{\sqrt{x}}) + c $$

Esta expresión representa el resultado final de la integral indefinida.