Cálculo de integrales - Ejercicio 2

En este ejercicio vamos a calcular la siguiente integral indefinida:

$$ \int \sin^3(x) \cdot \cos(x) \ dx $$

Para resolverla de forma clara y eficiente, utilizaremos el método de sustitución.

Comenzamos introduciendo la sustitución:

$$ t = \sin(x) $$

A continuación derivamos ambos miembros con respecto a $ x $, recordando que $ t $ es una función de $ x $:

$$ dt = \cos(x) \ dx $$

Al sustituir $ \sin(x) = t $, la expresión $ \sin^3(x) $ se transforma en $ t^3 $:

$$ \int t^3 \cdot \cos(x) \ dx $$

Como $ dt = \cos(x) \ dx $, la integral se simplifica inmediatamente a:

$$ \int t^3 \ dt $$

De este modo, el problema se reduce a una integral de potencia muy sencilla.

Recordemos que una primitiva de la función $ t^n $ viene dada por la fórmula:

$$ \int t^n \ dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + c $$

Aplicando esta regla al caso $ n = 3 $, obtenemos:

$$ \int t^3 \ dt = \frac{t^4}{4} + c $$

Finalmente, deshacemos la sustitución y regresamos a la variable original $ x $, lo que nos da como resultado:

$$ \frac{\sin^4(x)}{4} + c $$

Enfoque alternativo. La integral $$ \int \sin^3(x) \cdot \cos(x) \ dx $$ también puede resolverse de manera directa mediante otra técnica de integración, basada en la siguiente fórmula general: $$ \int f'(x) \cdot [f(x)]^n \ dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + c $$ En este caso se identifica $ f(x) = \sin(x) $, $ f'(x) = \cos(x) $ y $ n = 3 $. Al aplicar la fórmula se obtiene directamente: $$ \int \cos(x) \cdot [\sin(x)]^3 \ dx = \frac{\sin^4(x)}{4} + c $$ Como puede verse, el resultado coincide con el obtenido anteriormente.

Y así sucesivamente...