Cálculo de integrales - Ejercicio 20
En este ejercicio se nos pide calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \ dx $$
Para resolverla, utilizaremos el método de sustitución diferencial, una técnica especialmente eficaz cuando el numerador está relacionado con la derivada del denominador. En este caso, la expresión \( \sin x - \cos x \) resulta una candidata natural para el cambio de variable.
Comenzamos calculando su diferencial:
$$ d( \sin x - \cos x ) = ( \cos x + \sin x ) \ dx $$
A continuación, despejamos dx dividiendo ambos miembros entre \( \cos x + \sin x \):
$$ \frac{ d( \sin x - \cos x ) }{ \cos x + \sin x } = dx $$
Sustituimos ahora esta expresión de dx en la integral original:
$$ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \cdot \left[ \frac{ d( \sin x - \cos x ) }{ \cos x + \sin x } \right] $$
De este modo, el numerador y el denominador se simplifican directamente, lo que reduce la integral a:
$$ \int \frac{1}{\sin x - \cos x} \cdot d( \sin x - \cos x ) $$
Introducimos ahora una variable auxiliar para facilitar el cálculo: \( t = \sin(x) - \cos(x) \).
$$ \int \frac{1}{t} \ dt $$
Esta es una integral elemental cuya primitiva es bien conocida:
$$ \int \frac{1}{t} \ dt = \log |t| + c $$
Volviendo a la variable original, con \( t = \sin(x) - \cos(x) \), obtenemos finalmente:
$$ \log | \sin x - \cos x | + c $$
Por lo tanto, la solución de la integral planteada es:
$$ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \ dx = \log | \sin x - \cos x | + c $$
Solución alternativa
Existe una forma aún más directa de llegar al mismo resultado, basada en el reconocimiento inmediato de la estructura del integrando.
$$ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \ dx $$
Obsérvese que el numerador \( \sin(x) + \cos(x) \) coincide exactamente con la derivada del denominador \( \sin(x) - \cos(x) \).
Esto permite aplicar de forma inmediata una de las reglas estándar de integración:
$$ \int \frac{f'(x)}{f(x)} \ dx = \log |f(x)| + c $$
(Aquí, "log" denota el logaritmo natural, es decir, ln.)
En consecuencia, el integrando puede interpretarse directamente como la derivada de la función compuesta \( \log[\sin(x) - \cos(x)] \).
Para comprobarlo de forma explícita, derivamos dicha función:
$$ \frac{d}{dx} \log[\sin(x) - \cos(x)] = \frac{1}{\sin(x) - \cos(x)} \cdot \frac{d}{dx}[\sin(x) - \cos(x)] $$
$$ = \frac{1}{\sin(x) - \cos(x)} \cdot [\cos(x) + \sin(x)] $$
$$ = \frac{\sin(x) + \cos(x)}{\sin(x) - \cos(x)} $$
De nuevo, llegamos a la misma conclusión:
$$ \int \frac{\sin x + \cos x}{\sin x - \cos x} \ dx = \log | \sin x - \cos x | + c $$
Y así sucesivamente.
