Cálculo de integrales - Ejercicio 31
Se nos pide calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx $$
Este cálculo puede resolverse mediante varios procedimientos habituales en el cálculo integral.
Método 1
Partimos de la integral:
$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx $$
Aplicamos el método de sustitución, introduciendo la variable auxiliar \( t = \sqrt{x} \).
$$ t = \sqrt{x} $$
Calculamos el diferencial correspondiente:
$$ dt = d(\sqrt{x}) = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx $$
Despejamos \( dx \):
$$ dx = 2\sqrt{x} \, dt $$
Sustituimos en la integral original:
$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \cdot (2\sqrt{x} \, dt) $$
Los factores \( \sqrt{x} \) se simplifican:
$$ \int 2 \cos \sqrt{x} \, dt $$
Dado que \( t = \sqrt{x} \), expresamos el integrando en función de \( t \):
$$ 2 \int \cos t \, dt $$
La integral de \( \cos t \) es \( \sin t + c \), por lo que se obtiene:
$$ 2\sin t + c $$
Finalmente, regresamos a la variable original sustituyendo \( t = \sqrt{x} \):
$$ 2\sin(\sqrt{x}) + c $$
Esta expresión constituye una primitiva de la función dada.
Método 2
Consideramos nuevamente la integral:
$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx $$
Realizamos la sustitución \( t = \sqrt{x} \):
$$ t = \sqrt{x} $$
Calculamos el diferencial:
$$ dt = \frac{1}{2\sqrt{x}} \, dx $$
De donde se deduce:
$$ \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2 \, dt $$
Sustituimos esta expresión en la integral:
$$ \int \cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = \int \cos \sqrt{x} \cdot (2 \, dt) $$
Lo cual se simplifica a:
$$ 2 \int \cos \sqrt{x} \, dt $$
Reemplazando \( \sqrt{x} \) por \( t \):
$$ 2 \int \cos t \, dt = 2\sin t + c $$
Volviendo a la variable original \( t = \sqrt{x} \):
$$ 2\sin(\sqrt{x}) + c $$
Se obtiene así el mismo resultado.
Método 3
Consideramos una vez más la integral:
$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx $$
Observamos que la derivada de \( \sin(\sqrt{x}) \) viene dada por:
$$ \frac{d}{dx}\bigl[\sin(\sqrt{x})\bigr] = \cos(\sqrt{x}) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} $$
Multiplicando ambos miembros por 2:
$$ 2 \, d(\sin(\sqrt{x})) = \frac{\cos(\sqrt{x})}{\sqrt{x}} \, dx $$
Por lo tanto, la integral puede reescribirse como:
$$ \int \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} \, dx = \int 2 \, d(\sin(\sqrt{x})) $$
Esto equivale a:
$$ 2 \int d(\sin(\sqrt{x})) $$
Introduciendo la sustitución \( t = \sin(\sqrt{x}) \):
$$ 2 \int dt = 2t + c $$
Regresando a la expresión original:
$$ 2\sin(\sqrt{x}) + c $$
Una vez más, se llega a la misma primitiva.
Y así sucesivamente.
