Caracterizaci贸n de conjuntos disconexos mediante abiertos en un espacio topol贸gico
Sea \( X \) un espacio topol贸gico y sea \( A \subset X \). El conjunto \( A \) es disconexo en \( X \) si y solo si existen dos abiertos \( U \) y \( V \) de \( X \) tales que:
- \( A \subset U \cup V \)
- \( U \cap A \neq \varnothing \)
- \( V \cap A \neq \varnothing \)
- \( (U \cap V) \cap A = \varnothing \)
En t茅rminos intuitivos, un conjunto es disconexo cuando puede separarse en dos partes mediante abiertos del espacio ambiente. Cada uno de estos abiertos debe contener puntos del conjunto, no deben solaparse sobre 茅l y, en conjunto, deben cubrirlo por completo.
Esta caracterizaci贸n resulta especialmente 煤til porque permite detectar la disconexi贸n sin recurrir a nociones adicionales como caminos, continuidad u homotop铆a. Todo el an谩lisis se apoya 煤nicamente en la estructura de los abiertos del espacio topol贸gico.
Un ejemplo ilustrativo
Consideremos el conjunto:
$$ A = [0,1] \cup [2,3] \subset \mathbb{R} $$
A primera vista, \( A \) est谩 formado por dos intervalos cerrados que no se tocan. Esto sugiere que no existe manera de conectar un punto de \( [0,1] \) con uno de \( [2,3] \) sin abandonar el conjunto.
Podemos verificar formalmente la disconexi贸n eligiendo dos abiertos de \( \mathbb{R} \) que separen cada intervalo:
- \( U = (-1,1.5) \)
- \( V = (1.5,4) \)
Ambos abiertos intersectan a \( A \) en subconjuntos no vac铆os y, adem谩s, no comparten puntos de \( A \):
$$ U \cap A = [0,1] $$
$$ V \cap A = [2,3] $$
$$ (U \cap V) \cap A = \varnothing $$
De este modo, los dos componentes de \( A \) quedan claramente separados por abiertos, lo que confirma que \( A \) es disconexo.
Ejemplo 2: un conjunto finito
Consideremos ahora el conjunto:
$$ A = \{1,3\} \subset \mathbb{R} $$
Aunque es un conjunto muy peque帽o, tambi茅n es disconexo. Los dos puntos est谩n aislados entre s铆 y no existe forma de pasar de uno al otro sin salir del conjunto.
Basta considerar los abiertos:
$$ U = (0,2) \qquad V = (2,4) $$
Se verifica inmediatamente:
$$ U \cap A = \{1\} $$
$$ V \cap A = \{3\} $$
$$ (U \cap V) \cap A = \varnothing $$
Por tanto, los puntos quedan separados por abiertos y el conjunto \( A \) es disconexo.
Ejemplo 3: dos semiplanos separados
Veamos un ejemplo en dimensi贸n superior. Consideremos el subconjunto de \( \mathbb{R}^2 \):
$$ A = \{(x,y) : y>0\} \cup \{(x,y) : y<0\} $$
Este conjunto es la uni贸n del semiplano superior y el semiplano inferior. Ambos son abiertos y est谩n completamente separados por la recta \( y=0 \), que no pertenece al conjunto.
Tomemos los abiertos:
$$ U = \{(x,y) : y>-1\} $$
$$ V = \{(x,y) : y<1\} $$
- \( U \cap A \) contiene todo el semiplano superior
- \( V \cap A \) contiene todo el semiplano inferior
Como no existen puntos de \( A \) en \( U \cap V \), el conjunto queda completamente separado y, por tanto, es disconexo.
Demostraci贸n
La demostraci贸n consta de dos implicaciones, que juntas establecen la equivalencia.
A] Si existen abiertos que separan, entonces el conjunto es disconexo
Supongamos que existen abiertos \( U \) y \( V \) de \( X \) que satisfacen las condiciones de la caracterizaci贸n. Definimos:
\[ P = U \cap A, \qquad Q = V \cap A \]
Entonces:
- \( P \) y \( Q \) son no vac铆os.
- \( P \) y \( Q \) son abiertos en la topolog铆a de subespacio.
- \( P \cap Q = \varnothing \).
- \( P \cup Q = A \).
Esto constituye una separaci贸n de \( A \), por lo que el conjunto es disconexo.
B] Si el conjunto es disconexo, existen tales abiertos
Supongamos ahora que \( A \) es disconexo. Entonces existen subconjuntos \( P \) y \( Q \) de \( A \) que forman una separaci贸n: son no vac铆os, abiertos en la topolog铆a de subespacio, disjuntos y su uni贸n es todo \( A \).
Por definici贸n de la topolog铆a inducida, existen abiertos \( U \) y \( V \) de \( X \) tales que:
\[ P = U \cap A, \qquad Q = V \cap A \]
Es inmediato verificar que estos abiertos satisfacen todas las condiciones de la caracterizaci贸n.
C] Conclusi贸n
Un subconjunto \( A \) de un espacio topol贸gico \( X \) es disconexo si y solo si puede separarse mediante dos abiertos del espacio ambiente. Esta caracterizaci贸n permite identificar la disconexi贸n de forma directa, utilizando 煤nicamente la estructura topol贸gica de los abiertos.
