Caracterización de conjuntos desconectados mediante abiertos en un espacio topológico
Sea \(X\) un espacio topológico y sea \(A \subset X\). El conjunto \(A\) está desconectado en \(X\) si y solo si existen dos abiertos \(U\) y \(V\) en \(X\) tales que:
- \(A \subset U \cup V\)
- \(U \cap A \neq \varnothing\)
- \(V \cap A \neq \varnothing\)
- \((U \cap V) \cap A = \varnothing\)
En términos sencillos, un conjunto está desconectado cuando podemos identificar dos regiones abiertas del espacio que separan de forma clara las partes que lo componen. Estas regiones no solo deben contener elementos de \(A\), también deben ser disjuntas sobre \(A\) y, en conjunto, cubrirlo por completo.
Esta caracterización es especialmente útil porque permite detectar desconexiones sin depender de nociones más avanzadas como caminos o funciones continuas. Solo necesitamos trabajar con abiertos del espacio.
Un ejemplo ilustrativo
Tomemos como referencia el conjunto:
$$ A = [0,1] \cup [2,3] \subset \mathbb{R} $$
A simple vista, \(A\) está formado por dos intervalos cerrados que no se tocan. Esto ya sugiere que no hay conexión posible entre un punto de \([0,1]\) y uno de \([2,3]\) sin salir del conjunto.
Podemos comprobar la desconexión seleccionando dos abiertos que capturen cada intervalo por separado:
- \(U = (-1,1.5)\)
- \(V = (1.5,4)\)
Ambos intersectan a \(A\) en intervalos no vacíos y, además, no comparten ningún punto de \(A\):
$$ U \cap A = [0,1] $$
$$ V \cap A = [2,3] $$
$$ (U \cap V) \cap A = \varnothing $$
De esta manera queda claro que los dos componentes de \(A\) están perfectamente separados por abiertos, lo cual confirma su desconexión.
Ejemplo 2: un conjunto muy pequeño
Consideremos ahora algo mucho más simple:
$$ A = \{1, 3\} \subset \mathbb{R} $$
También este conjunto está desconectado. Aunque es diminuto, los puntos están aislados entre sí y no existe ninguna manera de ir de uno a otro sin abandonar \(A\).
Basta tomar:
$$ U = (0,2) \qquad V = (2,4) $$
Comprobamos fácilmente:
$$ U \cap A = \{1\} $$
$$ V \cap A = \{3\} $$
$$ U \cap V \cap A = \varnothing $$
Los dos puntos quedan separados por abiertos, de manera que \(A\) es desconectado también en este caso.
Ejemplo 3: dos semiplanos separados
Veamos un ejemplo en dimensión superior. Consideremos \(\mathbb{R}^2\) sin su eje \(x\):
$$ A = \{(x,y) : y>0\} \cup \{(x,y) : y<0\} $$
El resultado es la unión del semiplano superior y el semiplano inferior. Ambos son abiertos y están completamente separados por una línea que ya no forma parte del conjunto.
Tomemos los abiertos:
$$ U = \{(x,y) : y> -1\} $$
$$ V = \{(x,y) : y< 1\} $$
- \(U \cap A\) contiene todo el semiplano superior
- \(V \cap A\) contiene todo el semiplano inferior
Como no hay puntos de \(A\) en \(U \cap V\), la desconexión es total.
Demostración
La demostración formal se basa en dos direcciones, ambas necesarias y suficientes.
A] Si existen abiertos que separan, entonces el conjunto está desconectado
Supongamos que hay abiertos \(U\) y \(V\) en \(X\) con las propiedades requeridas. Definimos:
\[ P = U \cap A, \qquad Q = V \cap A \]
Entonces:
- Ambos son no vacíos.
- Ambos son abiertos en la topología de subespacio.
- No comparten puntos: \(P \cap Q = \varnothing\).
- Su unión cubre todo el conjunto: \(P \cup Q = A\).
Esto constituye exactamente una separación de \(A\), de modo que \(A\) es desconectado.
B] Si el conjunto está desconectado, podemos encontrar tales abiertos
Ahora partamos del supuesto contrario: \(A\) está desconectado. Esto significa que existen dos subconjuntos \(P\) y \(Q\) de \(A\) que forman una separación, es decir:
- son no vacíos,
- son abiertos en la topología de subespacio,
- son disjuntos,
- y su unión cubre todo \(A\).
Como \(P\) es abierto en \(A\), viene dado por la intersección de algún abierto \(U\) de \(X\) con \(A\). Lo mismo ocurre con \(Q\), que corresponde a un abierto \(V\) de \(X\). A partir de aquí se verifica directamente que \(U\) y \(V\) cumplen todas las condiciones de la caracterización.
C] Conclusión
Un conjunto \(A\) de un espacio topológico \(X\) es desconectado exactamente cuando puede dividirse en dos partes no vacías, disjuntas y abiertas en la topología de subespacio, que provienen de dos abiertos del espacio ambiente. Esta visión permite identificar desconexiones de manera directa y apoyándose únicamente en la estructura de los abiertos.
