Conexidad y clausura
Sea \( X \) un espacio topológico y sea \( C \) un subconjunto conexo de \( X \). Si un conjunto \( A \) contiene a \( C \) y, al mismo tiempo, está contenido en la clausura de \( C \), \[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \] entonces \( A \) es también un subconjunto conexo de \( X \).
La idea intuitiva es sencilla. Si partimos de un conjunto conexo y solo añadimos puntos que siguen "pegados" a él, sin introducir cortes ni separaciones, el resultado no puede perder la conexidad.
En esta situación, el conjunto \( C \) ya es conexo, así que no admite separaciones internas. Además, el conjunto \( A \) contiene a \( C \), por lo que no se elimina ninguna parte del conjunto original.
Por otra parte, al estar \( A \) contenido en la clausura de \( C \), solo puede incorporar puntos que no estén aislados de \( C \). En términos topológicos, se trata de puntos tales que todo entorno abierto suyo intersecta a \( C \).
Como consecuencia directa, la propiedad de conexidad de \( C \) se transmite al conjunto \( A \).
Un ejemplo concreto
Consideremos el espacio topológico \( X = \mathbb{R} \), provisto de la topología usual, y tomemos como \( C \) un intervalo.
$$ C = (0,1) $$
El conjunto \( C \) es conexo en \( \mathbb{R} \), ya que los intervalos son subconjuntos conexos de la recta real.
La clausura de \( C \) es
\[ \operatorname{Cl}(C) = [0,1] \]
Elegimos ahora un conjunto \( A \) tal que \( C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \). Por ejemplo:
\[ A = (0,1] \]
En este caso, se cumple claramente que \( C \) está contenido en \( A \)
$$ C \subset A $$
$$ (0,1) \subset (0,1] $$
y que \( A \) está contenido en la clausura de \( C \)
$$ A \subset \operatorname{Cl}(C) $$
$$ (0,1] \subset [0,1] $$
Por lo tanto, el conjunto \( A = (0,1] \) es también conexo en \( \mathbb{R} \).
Dicho de otro modo, partiendo del conjunto conexo \( (0,1) \), se ha añadido un único punto, el punto \( 1 \), que está en contacto directo con el conjunto original. No aparece ninguna separación.
Por esta razón, el conjunto \( A \) sigue siendo conexo en \( \mathbb{R} \).
Demostración
Sea \( X \) un espacio topológico y sea \( C \subset X \) un subconjunto conexo.
Sea \( A \) un conjunto tal que
\[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \]
Para probar que \( A \) es conexo en \( X \), razonamos por contradicción y suponemos que \( A \) no es conexo.
Si \( A \) no es conexo, entonces existe una separación de \( A \). Esto significa que existen conjuntos abiertos \( U \) y \( V \) en \( X \) tales que:
- \( U \) y \( V \) son abiertos en \( X \)
- \( A \subset U \cup V \), es decir, \( U \cup V \) recubre a \( A \)
- \( A \cap U \neq \varnothing \) y \( A \cap V \neq \varnothing \)
- \( (A \cap U) \cap (A \cap V) = \varnothing \), o de forma equivalente \( A \cap U \cap V = \varnothing \), lo que indica que \( U \) y \( V \) no se intersectan sobre \( A \)
Consideremos ahora el conjunto \( C \).
Dado que \( C \subset A \), podemos escribir:
\[ C = (C \cap U) \cup (C \cap V) \]
Además:
\[ (C \cap U) \cap (C \cap V) = C \cap U \cap V \subset A \cap U \cap V = \varnothing \]
Así, \( C \) queda expresado como la unión de dos subconjuntos disjuntos.
Los conjuntos \( C \cap U \) y \( C \cap V \) son abiertos en \( C \) con respecto a la topología de subespacio, ya que se obtienen como intersecciones de \( C \) con conjuntos abiertos de \( X \).
Por tanto, \( C \) admitiría una separación dada por \( C \cap U \) y \( C \cap V \), a menos que uno de estos conjuntos fuese vacío.
Sin embargo, \( C \) es conexo, por lo que no admite ninguna separación.
En consecuencia, uno de los dos conjuntos debe ser vacío:
\[ C \cap U = \varnothing \quad \text{o} \quad C \cap V = \varnothing \]
Supongamos, sin pérdida de generalidad, que
\[ C \cap V = \varnothing \]
Esto implica que \( C \) está contenido por completo en el conjunto abierto \( U \).
\[ C \subset U \]
Dado que \( A \cap V \neq \varnothing \), elegimos un punto
\[ x \in A \cap V \]
De la condición \( A \subset \operatorname{Cl}(C) \) se sigue que
\[ x \in \operatorname{Cl}(C) \]
Pero \( x \in V \), y \( V \) es abierto en \( X \).
Por tanto, \( V \) es un entorno abierto de \( x \).
Como \( V \cap C = \varnothing \), este entorno abierto de \( x \) no intersecta a \( C \).
Por definición, un punto \( x \) pertenece a la clausura \( \operatorname{Cl}(C) \) si y solo si todo entorno abierto de \( x \) intersecta a \( C \).
En consecuencia, \( x \) no puede pertenecer a la clausura de \( C \).
\[ x \in V \ \text{abierto}, \ V \cap C = \varnothing \quad \Rightarrow \quad x \notin \operatorname{Cl}(C) \]
Esto contradice la afirmación anterior de que \( x \in \operatorname{Cl}(C) \).
Por lo tanto, la suposición de que \( A \) no es conexo es falsa. En consecuencia, se cumple su negación:
\[ A \ \text{es conexo en} \ X \]
Esto completa la demostración.
Y así sucesivamente.
