Conectividad en topología

En topología, un espacio se considera conectado si no está formado por conjuntos abiertos disjuntos. Esto implica que la conectividad hace referencia a la capacidad del espacio para permitir que cualquier par de puntos dentro del mismo se unan mediante un camino sin salir de sus límites.

La conectividad describe cómo las partes de un espacio topológico están vinculadas o separadas.

Este concepto es fundamental en la topología, al igual que la continuidad.

La conectividad es crucial en numerosas áreas de las matemáticas, ya que ofrece perspectivas sobre la estructura de los espacios y las relaciones entre sus diferentes componentes. Por ejemplo, facilita la clasificación y análisis de espacios topológicos.

Un Ejemplo Práctico

Consideremos un espacio, sea una figura plana o un poliedro, como conectado si existe un camino continuo que enlace cualquier par de puntos A y B dentro de él, sin salir del espacio.

En contraposición, si partes del espacio están separadas, entonces el espacio no está conectado (se denomina espacio desconectado).

Por ejemplo, en este escenario, el espacio se divide en dos partes disjuntas, y cualquier camino que conecte los puntos A y B tendría que salir del espacio.

Merece la pena profundizar en el concepto de espacios desconectados con otro ejemplo práctico.

¿Cuándo un espacio está desconectado?

La manera más sencilla de ilustrar un espacio desconectado es imaginar dos habitaciones separadas dentro de un mismo edificio, divididas por una pared. Estas habitaciones representan dos conjuntos abiertos que no incluyen sus límites (las paredes) y están separados.

Aunque las habitaciones parezcan conectadas, no lo están, dado que cualquier camino de punto A a B implicaría atravesar la pared, que está fuera del espacio definido.

En resumen, es crucial recordar que los límites no forman parte de un conjunto abierto.

Conectividad Local

La conectividad local se da cuando cada conjunto abierto en el espacio, aunque esté disjunto de otros, tiene un vecindario conectado. Esto significa que cada punto pertenece a un subconjunto abierto conectado.

Tomemos, por ejemplo, un espacio formado por conjuntos abiertos disjuntos, como las dos habitaciones separadas dentro de un edificio.

El espacio está desconectado porque no existe manera de conectar los puntos A y B sin cruzar las paredes.

No obstante, en el punto A, hay un subconjunto que lo encapsula donde todos los puntos están intercon ectados, demostrando la conectividad local.

De igual manera, el punto B también exhibe conectividad local.

Tipos de Conexiones

Existen múltiples formas de conectividad, siendo las dos más comunes:

• Conexión topológica
  Un espacio topológico $ X $ se denomina conexo cuando no es posible dividirlo en dos conjuntos abiertos, disjuntos y no vacíos cuya unión sea todo el espacio. En otras palabras, no existe manera de “separar” el espacio en dos regiones independientes.

  Ejemplo. El espacio (-1, 1) es conexo, mientras que el espacio (-1, 0) ∪ (0, 1) no lo es, ya que existen dos conjuntos abiertos, disjuntos y no vacíos - (-1, 0) y (0, 1) - cuya unión cubre todo el espacio.
  Estos dos conjuntos, por tanto, constituyen una separación del espacio.

• Conexión por caminos (o por arcos)
  Se dice que un espacio topológico es conexo por caminos si, para cualquier par de puntos A y B del espacio, existe un camino continuo que los une y que permanece completamente dentro de dicho espacio. Todo espacio conexo por caminos es también conexo, aunque la recíproca no siempre se cumple.
  

  Por ejemplo, considera una figura cerrada en el plano. Para cualquier par de puntos interiores A y B, es posible trazar una curva continua que los conecte sin levantar el lápiz del papel ni salir de la figura.
  
  Diferencia entre conexión por arcos y por caminos.  La conexión por arcos es semejante a la conexión por caminos, pero en este caso el camino debe ser inyectivo, es decir, no puede cruzarse ni pasar dos veces por el mismo punto.

• Conectividad Simple
  Un espacio se considera simplemente conectado si cualquier lazo cerrado dentro de él puede ser contraído a un punto. Esto indica que el espacio está unificado sin ningún vacío interno. Un espacio simplemente conectado siempre está conectado, pero no todos los espacios conectados son simplemente conectados. En términos formales, en un espacio topológico simplemente conectado, cada lazo es homotópico a un punto.
  

  Una esfera, por ejemplo, está simplemente conectada porque cualquier lazo en su superficie puede ser reducido a un punto. Por el contrario, una rosquilla, con su agujero intrínseco, no puede reducir cada lazo a un punto, resaltando su naturaleza conectada pero no simplemente conectada.
  
  
  Tal espacio, conectado pero no simplemente conectado, se denomina múltiplemente conectado. Un espacio anular es un ejemplo principal de este tipo de conectividad.

Observaciones

Aquí hay algunas notas personales y observaciones:

• En el ámbito de los números reales, los únicos espacios conectados son los intervalos.