La imagen continua de un conjunto conexo es conexa
Si \( X \) es un espacio topológico conexo y \( f : X \to Y \) es una aplicación continua, entonces \( f(X) \) es un subconjunto conexo de \( Y \).
En otras palabras, cuando se aplica una función continua a un conjunto conexo, el resultado no pierde la propiedad de ser conexo.
Si partimos de un espacio conexo \( X \) y lo transformamos mediante una aplicación continua \( f \), el conjunto de puntos obtenido \( f(X) \) sigue formando una sola pieza. La continuidad, por sí sola, no permite romper un espacio en partes separadas.
En este sentido preciso, se dice que la conexidad se conserva.
¿Qué significa conexo? Un espacio topológico se denomina conexo si no puede descomponerse como la unión de dos conjuntos abiertos no vacíos y disjuntos. Intuitivamente, un espacio conexo es aquel que no puede separarse en dos partes aisladas. Por ejemplo, un segmento de recta es conexo. En cambio, dos puntos aislados forman un espacio no conexo.
Un ejemplo concreto
Consideremos el espacio topológico
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
El intervalo cerrado \( [0,1] \) es conexo. De forma intuitiva, se trata de un único bloque continuo, sin huecos ni interrupciones.
Definamos ahora la aplicación $ f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} $
$$ f(x) = 2x $$
Esta aplicación es continua, y la imagen del intervalo es
$$ f([0,1]) = [0,2] $$
La imagen \( f(X) = [0,2] \) es también un intervalo y, por tanto, sigue siendo conexa.
Este ejemplo muestra de manera clara que la conexidad se conserva bajo aplicaciones continuas.
Nota. Para que un conjunto no sea conexo, debería poder separarse en dos abiertos disjuntos y no vacíos que lo cubran por completo. En el caso del intervalo $ [0,2] $, esto es imposible, ya que cualquier par de abiertos disjuntos dejaría fuera al menos un punto del intervalo. Separar un intervalo real de este modo no es posible, por lo que $ [0,2] $ es conexo.
Ejemplo 2
Consideremos nuevamente el espacio topológico $ X $
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
El intervalo \( [0,1] \) es conexo.
Definamos ahora la aplicación \( f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \)
$$ f(x) = 0 $$
La aplicación \( f \) es continua, y su imagen es
$$ f(X) = \{ 0 \} $$
Desde el punto de vista geométrico, todo el intervalo \( [0,1] \) se aplasta y se reduce a un único punto ($ 0 $).
Aun así, la imagen $ f(X) $ sigue siendo conexa. El conjunto \( \{ 0 \} \) no es vacío, contiene un solo elemento y no puede dividirse en partes separadas.
Por lo tanto, incluso cuando una aplicación continua colapsa un espacio hasta un punto, la conexidad de la imagen se mantiene.
Nota. La aplicación ha comprimido el intervalo, pero no lo ha roto. Una aplicación continua puede identificar puntos distintos o reducir la dimensión de un espacio, pero no puede generar una separación. Para obtener una imagen no conexa sería imprescindible introducir una discontinuidad.
La demostración
La demostración se basa en un razonamiento por reducción al absurdo.
Supongamos que \( X \) es un espacio conexo, pero que su imagen mediante una aplicación continua, \( f(X) \), no es conexa.
Si \( f(X) \) no fuera conexa, existirían dos conjuntos abiertos \( U \) y \( V \) que lo separan. Esto significa que \( f(X) \subset U \cup V \) y que cada punto de \( f(X) \) pertenece a uno solo de ellos.
Aquí aparece la idea clave. Como \( f \) es continua, la preimagen de un conjunto abierto es también un conjunto abierto. Por tanto:
- \( f^{-1}(U) \) es abierto en \( X \)
- \( f^{-1}(V) \) es abierto en \( X \)
Además, ambos conjuntos son no vacíos, disjuntos y, en conjunto, cubren todo el espacio \( X \).
Esto implicaría que \( X \) puede escribirse como la unión de dos abiertos no vacíos y disjuntos.
Pero esto contradice la hipótesis inicial de que \( X \) es conexo.
La contradicción demuestra que la suposición era falsa. En consecuencia, la imagen continua de un conjunto conexo es necesariamente conexa.
Nota. Dicho de forma intuitiva, una aplicación continua puede doblar, estirar o comprimir un espacio, pero no puede crear cortes ni separaciones. Para dividir un espacio en partes independientes es necesaria una discontinuidad.
Y así sucesivamente.
