Conexidad de subespacios

Un subconjunto $ A $ de un espacio topológico $ X $ se dice conexo en $ X $ si, al dotarlo de la topología de subespacio inducida por $ X $, el conjunto $ A $ es un espacio topológico conexo.

Esta noción permite extender el concepto de conexidad, aplicándolo no solo al espacio completo $ X $, sino también a cualquiera de sus subconjuntos.

El procedimiento es siempre el mismo: se considera el subconjunto $ A $ provisto de la topología inducida por $ X $ y se analiza si conserva o no la propiedad de ser conexo bajo dicha topología.

En términos prácticos, el problema consiste en decidir si el subespacio $ A $ admite una separación cuando se le considera con la topología heredada.

Nota. Para comprobar si un subconjunto $ A $ es conexo, se le asigna la topología de subespacio y se verifica si puede escribirse como la unión de dos conjuntos no vacíos, disjuntos y abiertos en esa topología. Si existe tal descomposición, entonces $ A $ es disconexo. Si no existe, $ A $ es conexo.

Un ejemplo práctico

Consideremos la recta real $ \mathbb{R} $ con su topología usual y el subconjunto:

$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$

Este conjunto excluye un único punto, el cero. A la izquierda contiene todos los valores desde $ -1 $ hasta $ 0 $, sin incluir este último, y a la derecha contiene los valores desde $ 0 $ hasta $ 1 $, nuevamente sin incluir el punto $ 0 $.

La ausencia de ese único punto es suficiente para separar el conjunto $ A $ en dos partes claramente diferenciadas:

el intervalo $ [-1,0) $
el intervalo $ (0,1] $

Podemos denotar estos subconjuntos como:

$$ U = [-1,0) $$

$$ V = (0,1] $$

Los conjuntos $ U $ y $ V $ son abiertos en el subespacio $ A $ cuando se considera la topología inducida por $ \mathbb{R} $. Además, son disjuntos y su unión coincide con todo el conjunto $ A $.

$$ U \cap V = \varnothing $$

$$ U \cup V = A $$

Esto constituye una separación del subespacio $ A $. En consecuencia, el subconjunto $ A $, considerado como subespacio de $ \mathbb{R} $, es un conjunto disconexo.