Conectividad de subespacios

Un subconjunto $ A $ de un espacio topológico $ X $ se considera conectado en $ X $ cuando, al dotarlo de la topología de subespacio heredada de $ X $, el conjunto $ A $ forma un espacio topológico conexo.

Esta idea permite ampliar la noción de conectividad y aplicarla no solo al espacio completo, sino también a cualquier uno de sus subconjuntos. Basta con observar qué ocurre cuando ese subconjunto recibe la topología inducida por $ X $.

En esencia, el problema consiste en determinar si ese subconjunto mantiene o no la propiedad de ser conexo bajo la topología heredada.

Nota. Para comprobarlo tomamos el conjunto $ A $, le asignamos la topología de subespacio y verificamos si puede descomponerse como la unión de dos conjuntos no vacíos, disjuntos y abiertos dentro de esa topología. Si existe una partición de este tipo, entonces $ A $ es disconexo en $ X $. Si no existe, $ A $ es conexo.

Un ejemplo práctico

Consideremos la recta real $ \mathbb{R} $ con su topología habitual y el conjunto:

$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$

Este conjunto excluye un único punto: el cero. A la izquierda contiene todos los valores desde -1 hasta 0 sin incluirlo, y a la derecha todos los valores desde 0 hasta 1, también sin incluirlo.

La ausencia de ese solo punto basta para dividir $ A $ en dos zonas bien diferenciadas:

el intervalo de -1 a 0 sin incluir 0
el intervalo de 0 a 1 sin incluir 0

Podemos escribirlas como:

$$ U = [-1,0) $$

$$ V = (0,1] $$

Los dos conjuntos, $ U $ y $ V $, resultan abiertos dentro de $ A $ cuando consideramos la topología de subespacio. No comparten ningún punto y juntos cubren todo el conjunto inicial. Esto encaja perfectamente con la definición de un espacio disconexo.

$$ U \cap V = \emptyset $$

$$ U \cup V = A $$

Así vemos que el subconjunto $ A $, visto como subespacio de $ \mathbb{R} $, es disconexo.