Ejercicio 32 de cálculo integral
En este ejercicio vamos a calcular paso a paso la siguiente integral:
$$ \int \frac{1}{\tan^3(x)} \, dx $$
Para empezar, recordemos que la función tangente se define como el cociente entre el seno y el coseno, es decir, tan = sin / cos. Usando esta relación, podemos reescribir el integrando de una forma más conveniente:
$$ \int \frac{1}{ \frac{\sin^3(x)}{\cos^3(x)} } \, dx $$
Aplicamos ahora la regla de la división de fracciones. Para ello, multiplicamos la expresión por \( \frac{\cos^3(x)}{\sin^3(x)} \) dividido por sí mismo, lo que nos permite simplificar el integrando sin alterar su valor:
$$ \int \frac{1}{ \frac{\sin^3(x)}{\cos^3(x)} } \cdot \frac{ \frac{\cos^3(x)}{\sin^3(x)} }{ \frac{\cos^3(x)}{\sin^3(x)} } \, dx $$
Tras simplificar, la integral queda en la forma:
$$ \int \frac{\cos^3(x)}{\sin^3(x)} \, dx $$
En este punto resulta útil separar una potencia del coseno y utilizar la identidad pitagórica \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \), de la cual se obtiene:
\( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \)
Así, podemos reescribir el integrando como:
$$ \int \frac{\cos^2(x)\cdot\cos(x)}{\sin^3(x)} \, dx $$
$$ \int \frac{[1 - \sin^2(x)]\cdot\cos(x)}{\sin^3(x)} \, dx $$
Esta expresión sugiere de manera natural un cambio de variable. Tomamos:
\( u = \sin(x) \)
y calculamos su diferencial:
$$ du = \cos(x)\, dx $$
Sustituyendo en la integral, obtenemos:
$$ \int \frac{(1 - u^2)\cdot\cos(x)}{u^3} \, dx $$
$$ \int \frac{1 - u^2}{u^3}\cdot\cos(x) \, dx $$
Ahora reemplazamos directamente \( \cos(x)\, dx \) por \( du \):
$$ \int \frac{1 - u^2}{u^3} \, du $$
Para integrar con facilidad, descomponemos la fracción racional:
$$ \int \left( \frac{1}{u^3} - \frac{u^2}{u^3} \right) \, du $$
$$ \int \left( \frac{1}{u^3} - \frac{1}{u} \right) \, du $$
La integral se separa entonces en dos integrales elementales:
$$ \int u^{-3} \, du - \int \frac{1}{u} \, du $$
La segunda es una integral logarítmica bien conocida:
\( \int \frac{1}{u} \, du = \ln |u| + C \)
La primera corresponde a una integral de potencia:
\( \int u^{-3} \, du = \frac{u^{-2}}{-2} + C \)
Combinando ambos resultados, obtenemos:
$$ \frac{u^{-2}}{-2} - \ln |u| + C $$
$$ -\frac{1}{2u^2} - \ln |u| + C $$
Finalmente, volvemos a la variable original sustituyendo \( u = \sin(x) \):
$$ -\frac{1}{2 \sin^2(x)} - \ln | \sin(x) | + C $$
Esta expresión es el resultado final de la integral.
Con esto damos por concluido el ejercicio.
