Ejercicio de cálculo integral 3

Se propone calcular la siguiente integral indefinida:

$$ \int x \cdot \cos x \ dx $$

Este tipo de integrales se resuelve de forma especialmente eficaz mediante la integración por partes, eligiendo \( f(x) = x \) y \( g'(x) = \cos x \).

La fórmula general de la integración por partes es:

$$ \int f(x) \cdot g'(x) \, dx = f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx $$

Dado que una primitiva de \( \cos x \) es \( \sin x \), se obtiene:

$$ \int x \cdot \cos x \, dx = x \cdot \sin x - \int f'(x) \cdot \sin x \, dx $$

Como \( f'(x) = 1 \), la expresión se simplifica a:

$$ \int x \cdot \cos x \, dx = x \cdot \sin x - \int \sin x \, dx $$

La integral restante se evalúa de manera inmediata.

Una primitiva de \( \sin x \) es \( -\cos x \), por lo que:

$$ \int x \cdot \cos x \, dx = x \cdot \sin x - ( - \cos x ) + c $$

En consecuencia, el resultado final puede escribirse como:

$$ \int x \cdot \cos x \, dx = x \cdot \sin x + \cos x + c $$

donde \( c \) denota la constante de integración.