Ejercicio de cálculo integral 40
En este ejercicio se nos pide calcular la siguiente integral:
$$ \int \frac{x-1}{x^2+3x} \ dx $$
El integrando es una función racional. Como el grado del numerador es menor que el del denominador, podemos avanzar directamente sin necesidad de realizar una división polinómica.
El primer paso consiste en factorizar el denominador para escribirlo como el producto de dos factores lineales:
$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx $$
A continuación aplicamos el método de la descomposición en fracciones parciales, una técnica estándar para este tipo de integrales.
Dado que el denominador tiene raíces reales, simples y distintas, la fracción racional puede descomponerse como suma de dos fracciones más sencillas. Introducimos dos constantes reales A y B:
$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx = \int \frac{A}{x} + \frac{B}{x+3} \ dx $$
Para determinar los valores de A y B, llevamos la expresión del segundo miembro a un denominador común:
$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx = \int \frac{A(x+3) + Bx}{x \cdot (x+3)} \ dx $$
Al desarrollar el numerador se obtiene:
$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx = \int \frac{(A + B)x + 3A}{x \cdot (x+3)} \ dx $$
Como ambas fracciones tienen el mismo denominador, podemos igualar directamente los numeradores:
x - 1 = (A + B)x + 3A
De esta igualdad se deduce el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
$$ \begin{cases} A + B = 1 \\ 3A = -1 \end{cases} $$
Resolviendo la segunda ecuación se obtiene \( A = -\frac{1}{3} \). Sustituyendo este valor en la primera ecuación:
$$ -\frac{1}{3} + B = 1 \Rightarrow B = \frac{4}{3} $$
Por tanto, las constantes de la descomposición son: A = -1/3 y B = 4/3.
Reemplazando estos valores en la integral original, queda:
$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx = \int \left( \frac{-1}{3x} + \frac{4}{3(x+3)} \right) dx $$
Gracias a la linealidad de la integral, podemos separar esta expresión en dos integrales más simples:
$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx = -\frac{1}{3} \int \frac{1}{x} \ dx + \frac{4}{3} \int \frac{1}{x+3} \ dx $$
Ambas son integrales elementales bien conocidas:
$$ \int \frac{1}{x} \ dx = \log|x| + C \quad \text{y} \quad \int \frac{1}{x+3} \ dx = \log|x+3| + C $$
Finalmente, reuniendo todos los resultados, obtenemos la expresión general de la integral:
$$ \int \frac{x-1}{x \cdot (x+3)} \ dx = -\frac{1}{3} \log|x| + \frac{4}{3} \log|x+3| + C $$
Con esto queda resuelto el ejercicio, siguiendo paso a paso un procedimiento claro y sistemático.
Y así sucesivamente.
