Ejercicio de integración 35

En este ejercicio se nos pide calcular la siguiente integral:

$$ \int \frac{e^{x+1}}{3+e^x} \ dx $$

El primer paso consiste en observar que \( e^{x+1} = e^x \cdot e \). Esta igualdad nos permite separar el factor constante \( e \) de la integral:

$$ \int \frac{e^x \cdot e}{3+e^x} \ dx $$

$$ e \cdot \int \frac{e^x}{3+e^x} \ dx $$

Para resolver la integral resultante, utilizamos el método de sustitución, una técnica habitual en este tipo de expresiones racionales con funciones exponenciales.

Comenzamos derivando la expresión que aparece en el denominador:

$$ d(3 + e^x) = e^x \ dx $$

De aquí despejamos \( dx \):

$$ dx = \frac{d(3 + e^x)}{e^x} $$

Sustituimos ahora esta expresión en la integral:

$$ e \cdot \int \frac{e^x}{3+e^x} \cdot \frac{d(3+e^x)}{e^x} $$

Los factores \( e^x \) se cancelan, lo que simplifica notablemente la expresión:

$$ e \cdot \int \frac{1}{3+e^x} \, d(3+e^x) $$

Definimos entonces el cambio de variable \( t = 3 + e^x \). Con esta sustitución, la integral adopta la forma:

$$ e \cdot \int \frac{1}{t} \, dt $$

Esta es una integral elemental, ya que se cumple:

$$ \int \frac{1}{t} \, dt = \log |t| + c $$

Por tanto, obtenemos:

$$ e \cdot \log |t| + c $$

Finalmente, volvemos a la variable original sustituyendo \( t = 3 + e^x \):

$$ e \cdot \log |3 + e^x| + c $$

En conclusión, el valor de la integral es:

$$ \int \frac{e^{x+1}}{3+e^x} \ dx = e \cdot \log |3 + e^x| + c $$