Ejercicio de integrales 10

En este ejercicio vamos a calcular la siguiente integral:

$$ \int 2x(1+x^2)^5 \ dx $$

Se trata de un caso típico de integral de la forma fʼ(x) ⋅ [f(x)]ⁿ, donde \( f(x) = 1 + x^2 \), su derivada es \( fʼ(x) = 2x \) y el exponente vale \( n = 5 \).

Cuando una integral presenta esta estructura, puede resolverse de manera directa aplicando la siguiente fórmula general:

$$ \int f'(x) \cdot [ f(x) ]^n \ dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + c $$

Utilizando esta técnica de integración, obtenemos:

$$ \int 2x(1+x^2)^5 \ dx = \frac{(1+x^2)^{5+1}}{5+1} + c $$

Al simplificar la expresión, resulta:

$$ \int 2x(1+x^2)^5 \ dx = \frac{(1+x^2)^6}{6} + c $$

Por lo tanto, una primitiva de la función dada es:

$$ F(x) = \frac{(1+x^2)^6}{6} + c $$

Con esto queda completamente resuelto el ejercicio, utilizando un procedimiento claro y directo que se aplica con frecuencia en integrales de este tipo.