Ejercicio de integrales 11
En este ejercicio vamos a calcular paso a paso la siguiente integral:
$$ \int \frac{1 + e^{ \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \ dx $$
La clave para resolverla de forma sencilla es aplicar un cambio de variable adecuado.
Introducimos el siguiente cambio:
$$ t = \sqrt{x} $$
Derivando ambos lados obtenemos:
$$ dt = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \ dx $$
Multiplicamos ahora ambos miembros por 2:
$$ 2 \, dt = \frac{1}{\sqrt{x}} \ dx $$
Esto nos permite sustituir directamente \( \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx \) por \( 2 \, dt \) en la integral:
$$ \int \frac{1 + e^{ \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \ dx $$
$$ \int (1 + e^{ \sqrt{x}}) \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \ dx $$
$$ \int (1 + e^{ \sqrt{x}}) \cdot 2 \ dt $$
Dado que \( t = \sqrt{x} \), la integral se reescribe de forma más simple como:
$$ \int (1 + e^t) \cdot 2 \ dt $$
$$ \int (2 + 2e^t) \ dt $$
Separando en dos integrales elementales:
$$ \int 2 \ dt + \int 2e^t \ dt $$
La integración es inmediata:
$$ 2t + 2e^t + c $$
Deshaciendo el cambio de variable y sustituyendo \( t = \sqrt{x} \), obtenemos el resultado final:
$$ 2 \sqrt{x} + 2 e^{ \sqrt{x} } + c $$
Método alternativo
Veamos ahora cómo llegar al mismo resultado siguiendo un enfoque ligeramente distinto.
Partimos nuevamente de la integral inicial:
$$ \int \frac{1 + e^{ \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \ dx $$
Introducimos el mismo cambio de variable:
$$ t = \sqrt{x} $$
Elevando ambos lados al cuadrado:
$$ x = t^2 $$
Derivamos con respecto a \( t \):
$$ dx = 2t \, dt $$
Sustituimos esta expresión en la integral:
$$ \int \frac{1 + e^{ \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \cdot 2t \, dt $$
Reemplazando \( x \) por \( t^2 \):
$$ \int \frac{1 + e^{ \sqrt{t^2}}}{\sqrt{t^2}} \cdot 2t \, dt $$
Como \( \sqrt{t^2} = t \) para \( t \geq 0 \), la expresión se simplifica a:
$$ \int \frac{1 + e^t}{t} \cdot 2t \, dt $$
$$ \int (1 + e^t) \cdot 2 \, dt $$
$$ \int (2 + 2e^t) \ dt $$
Separando de nuevo:
$$ \int 2 \ dt + \int 2e^t \ dt $$
El resultado es:
$$ 2t + 2e^t + c $$
Sustituyendo finalmente \( t = \sqrt{x} \), se obtiene otra vez:
$$ 2 \sqrt{x} + 2 e^{ \sqrt{x} } + c $$
Ambos métodos conducen al mismo resultado, lo que confirma la corrección del procedimiento.
