Ejercicio de integrales 15
En este ejercicio vamos a calcular la siguiente integral:
$$ \int 2x \cdot e^{x^2} \ dx $$
Para resolverla de forma sencilla y sistemática, utilizaremos el método de sustitución, una técnica muy habitual en el cálculo integral.
El primer paso consiste en introducir una variable auxiliar que permita simplificar el integrando. Observamos que el exponente \( x^2 \) tiene una derivada proporcional al factor que acompaña a la exponencial. Por ello, definimos:
$$ u = x^2 $$
Derivando ambos lados con respecto a \( x \), obtenemos:
$$ du = 2x \ dx $$
Esto nos permite reescribir la integral original en términos de la nueva variable \( u \):
$$ \int 2x \cdot e^{x^2} \ dx $$
Sustituyendo \( u = x^2 \) y \( 2x \, dx = du \), la integral se transforma en:
$$ \int e^u \ du $$
Esta es una integral exponencial elemental, cuya primitiva es inmediata:
∫ eu du = eu + c
Por lo tanto, se tiene:
$$ \int e^u \ du = e^u + c $$
Para concluir, regresamos a la variable original sustituyendo nuevamente \( u = x^2 \). De este modo, obtenemos la solución de la integral inicial:
$$ e^{x^2} + c $$
En consecuencia, el resultado final es:
$$ \int 2x \cdot e^{x^2} \ dx = e^{x^2} + c $$
Con esto queda resuelto el ejercicio paso a paso, mostrando claramente el uso del método de sustitución.
