Ejercicio de integrales 24
En este ejercicio vamos a calcular paso a paso la siguiente integral:
$$ \int \frac{9x-3}{x^2+1} \, dx $$
El primer paso consiste en descomponer el integrando en dos términos más simples, lo que facilita el cálculo:
$$ \int \frac{9x}{x^2+1} - \frac{3}{x^2+1} \, dx $$
Gracias a la propiedad de linealidad de la integral, podemos separar la expresión anterior en dos integrales independientes:
$$ \int \frac{9x}{x^2+1} \, dx - \int \frac{3}{x^2+1} \, dx $$
$$ 9 \int \frac{x}{x^2+1} \, dx - 3 \int \frac{1}{x^2+1} \, dx $$
La segunda integral es inmediata, ya que se trata de una forma elemental bien conocida:
∫ 1 / (x2 + 1) = arctan(x) + c
De este modo, la expresión se reduce a:
$$ 9 \int \frac{x}{x^2+1} \, dx - 3 \arctan(x) + c $$
Para resolver la primera integral utilizamos un cambio de variable. Definimos:
t = x2 + 1
$$ t = x^2 + 1 $$
$$ dt = 2x \, dx $$
Despejando el diferencial, obtenemos:
$$ dx = \frac{1}{2x} \, dt $$
Sustituimos ahora dx = 1/(2x) \, dt en la integral:
$$ 9 \int \frac{x}{x^2+1} \cdot \frac{1}{2x} \, dt - 3 \arctan(x) + c $$
Tras simplificar, queda:
$$ 9 \int \frac{1}{x^2+1} \cdot \frac{1}{2} \, dt - 3 \arctan(x) + c $$
$$ \frac{9}{2} \int \frac{1}{x^2+1} \, dt - 3 \arctan(x) + c $$
Recordando que t = x2 + 1, la integral se escribe en función de la nueva variable:
$$ \frac{9}{2} \int \frac{1}{t} \, dt - 3 \arctan(x) + c $$
Esta integral también es elemental, ya que:
∫ 1/t = ln|t| + c
Por tanto, obtenemos:
$$ \frac{9}{2} \ln|t| - 3 \arctan(x) + c $$
Volviendo a la variable original y sustituyendo t = x^2 + 1, resulta:
$$ \frac{9}{2} \ln|x^2 + 1| - 3 \arctan(x) + c $$
Dado que \( x^2 + 1 \) es siempre positivo para cualquier valor real de \( x \), el valor absoluto puede eliminarse sin problemas:
$$ \frac{9}{2} \ln(x^2 + 1) - 3 \arctan(x) + c $$
Esta es la expresión final de la integral, obtenida de forma clara y ordenada.
Ejercicio resuelto.
