Ejercicio de integrales 30

Vamos a calcular paso a paso la siguiente integral:

$$ \int \frac{1}{1 + e^{3x}} \ dx $$

El integrando puede simplificarse mediante un truco algebraico habitual. Para ello, multiplicamos y dividimos por \( e^{-3x} \):

$$ \int \frac{1}{1 + e^{3x}} \cdot \frac{e^{-3x}}{e^{-3x}} \ dx $$

Tras esta operación, la integral adopta una forma más manejable:

$$ \int \frac{e^{-3x}}{(1 + e^{3x}) \cdot e^{-3x}} \ dx = \int \frac{e^{-3x}}{e^{-3x} + 1} \ dx $$

En este punto resulta natural aplicar un cambio de variable. Definimos:

$$ u = e^{-3x} + 1 $$

Derivando con respecto a \( x \), se obtiene:

$$ du = -3e^{-3x} \ dx \quad \Rightarrow \quad \frac{du}{-3} = e^{-3x} \ dx $$

Sustituyendo estas expresiones en la integral, llegamos a:

$$ \int \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{-3} = -\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} \ du $$

Esta es una integral logarítmica básica, cuyo resultado es inmediato:

$$ -\frac{1}{3} \ln |u| + c $$

Por último, recuperamos la variable original sustituyendo \( u = e^{-3x} + 1 \). De este modo, el resultado final es:

$$ \int \frac{1}{1 + e^{3x}} \ dx = -\frac{1}{3} \ln |e^{-3x} + 1| + c $$

Así queda completado el cálculo de la integral.