Integral de (x + 2) al cubo

En este ejemplo vamos a calcular la siguiente integral indefinida:

$$ \int (x+2)^3 \ dx $$

Se trata de un ejercicio sencillo pero muy útil para comprender distintas técnicas habituales de integración. A continuación se muestran dos métodos equivalentes.

Método 1

Empezamos introduciendo un cambio de variable para simplificar la expresión: u = x + 2.

$$ \int u^3 \ dx $$

Con este cambio, la integral adopta una forma elemental bien conocida:

$$ \int u^3 \ dx = \frac{u^{3+1}}{3+1} + c $$

$$ \int u^3 \ dx = \frac{u^4}{4} + c $$

Volviendo a la variable original, es decir, sustituyendo \( u = x + 2 \), obtenemos:

$$ \int (x+2)^3 \ dx = \frac{(x+2)^4}{4} + c $$

Por tanto, una primitiva de la función es:

$$ F(x) = \frac{(x+2)^4}{4} + c $$

Verificación: Para comprobar que el resultado es correcto, derivamos \( F(x) = \frac{(x+2)^4}{4} + c \): $$ D \left[ \frac{(x+2)^4}{4} \right] = \frac{1}{4} \cdot D[(x+2)^4] = \frac{1}{4} \cdot 4(x+2)^3 = (x+2)^3 $$ como corresponde.

Método 2

La integral

$$ \int (x+2)^3 \ dx $$

puede reconocerse directamente como un caso particular de la forma f ′(x) · [f(x)]ⁿ, donde \( f(x) = x + 2 \), \( f'(x) = 1 \) y \( n = 3 \).

Para integrales de este tipo se utiliza la siguiente fórmula general:

$$ \int f'(x) \cdot [f(x)]^n \ dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + c $$

Aplicando esta técnica de integración se obtiene directamente:

$$ \int (x+2)^3 \ dx = \frac{(x+2)^{3+1}}{3+1} + c $$

$$ \int (x+2)^3 \ dx = \frac{(x+2)^4}{4} + c $$

Por lo tanto, una vez más, llegamos a la misma primitiva:

$$ F(x) = \frac{(x+2)^4}{4} + c $$

Esto confirma que ambos métodos conducen al mismo resultado.

Y así sucesivamente.