Teorema de semejanza de las secantes en una circunferencia
Al trazar dos secantes desde un punto exterior P hacia una circunferencia, se produce una situación en la que los segmentos de una secante actúan como extremos de una proporción y los de la otra como términos medios, y viceversa.
Un ejemplo práctico
Veamos un caso concreto con una circunferencia y dos secantes que parten desde el mismo punto exterior P.
El segmento AP mide 5.281:
$$ \overline{AP} = \overline{AC} + \overline{CP} = 1.705 + 3.576 = 5.281 $$
El segmento BP mide 4.16:
$$ \overline{BP} = \overline{BD} + \overline{DP} = 2.164 + 1.996 = 4.16 $$
Vamos a comprobar si se cumple la proporción que establece el teorema:
$$ \overline{AP} : \overline{BP} = \overline{DP} : \overline{CP} $$
Sustituyendo los valores conocidos de los segmentos:
$$ 5.281 : 4.16 = 2.164 : 1.705 $$
$$ 1.269 = 1.269 $$
Por tanto, se verifica el teorema, pues los segmentos de una secante funcionan como los extremos de la proporción y los de la otra como términos medios.
Nota. He redondeado ambos cocientes a tres cifras decimales (1.269), ya que las longitudes de los segmentos AP, BP, CP y DP obtenidas de Geogebra son valores aproximados.
Demostración
Consideremos una circunferencia y un punto exterior P.
Se trazan dos secantes distintas, AP y BP.
Los puntos C y D, donde las secantes intersectan la circunferencia, dividen cada secante en dos segmentos: AC + CP y BD + DP.
Se trazan los segmentos que unen el punto de intersección de una secante con el extremo de la otra, es decir, los segmentos AD y BC.
Esto genera dos triángulos: ADP y BCP.
Ambos triángulos ADP y BCP comparten el mismo ángulo α.
Los otros dos ángulos, β y γ, son congruentes (β ≅ γ) porque ambos son ángulos inscritos que interceptan el mismo arco CD.
Por lo tanto, según el primer criterio de semejanza de triángulos, los triángulos ADP y BCP son semejantes, ya que comparten dos ángulos iguales, α y β ≅ γ.
$$ ADP \approx BCP $$
Al ser semejantes, sus lados homólogos son proporcionales:
$$ \overline{AP} : \overline{BP} = \overline{DP} : \overline{CP} = \overline{AD} : \overline{BC} $$
Esto confirma la relación de proporcionalidad entre los segmentos:
$$ \overline{AP} : \overline{BP} = \overline{DP} : \overline{CP} $$
Y así sucesivamente.
