Corps de nombres
En algèbre, un corps de nombres désigne une catégorie de corps dont les éléments sont exclusivement de nature numérique. En théorie des nombres, l’expression prend un sens plus précis: un corps de nombres est une extension finie du corps des rationnels \( \mathbb{Q} \).
Dans l’algèbre générale, les corps de nombres constituent donc une famille particulière de corps. Leurs éléments sont tous des nombres au sens large, qu’ils soient rationnels, réels, complexes ou issus d’extensions algébriques.
- Corps au sens général: structure algébrique définie sur un ensemble qui ne contient pas forcément des nombres.
- Corps de nombres: corps dont les éléments sont numériques ou proviennent d’extensions algébriques de \( \mathbb{Q} \).
On peut résumer ainsi: tout corps de nombres est un corps, mais tous les corps ne sont pas des corps de nombres.
Les corps \( \mathbb{R} \), \( \mathbb{C} \) et \( \mathbb{Q} \) en sont des exemples simples et bien connus.
En théorie des nombres, la définition est stricte. Un corps de nombres est une extension finie du corps des rationnels. Autrement dit, c’est un corps qui contient \( \mathbb{Q} \) et que l’on obtient en adjoignant un nombre fini d’éléments algébriques, c’est-à-dire des solutions de polynômes à coefficients rationnels.
Plus précisément, si un corps \( K \) contient \( \mathbb{Q} \), il est considéré comme un corps de nombres lorsque sa dimension comme espace vectoriel sur \( \mathbb{Q} \) est finie. Cette dimension est appelée le degré de l’extension \( K / \mathbb{Q} \).
Par exemple, le corps \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) regroupe tous les nombres de la forme \( a + b\sqrt{2} \) avec \( a, b \in \mathbb{Q} \). Il s’agit d’un corps de nombres de degré 2, car les éléments \( 1 \) et \( \sqrt{2} \) forment une base de cet espace vectoriel.
Un exemple concret
Le cas de \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) illustre clairement ce qu’est un corps de nombres. Ce corps contient tous les nombres de la forme \( a + b\sqrt{2} \), où \( a \) et \( b \) sont rationnels. On l’obtient en ajoutant simplement \( \sqrt{2} \) au corps des rationnels.
Pour voir comment il fonctionne, prenons deux éléments de ce corps, par exemple \( (1 + \sqrt{2}) \) et \( (3 - 2\sqrt{2}) \). Leur somme se calcule directement:
$$ (1 + \sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 4 - \sqrt{2} $$
Pour le produit, on développe comme dans un polynôme:
$$ (1 + \sqrt{2}) \times (3 - 2\sqrt{2}) = 1 \times 3 + 1 \times (-2\sqrt{2}) + \sqrt{2} \times 3 + \sqrt{2} \times (-2\sqrt{2}) $$
$$ = 3 - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 4 = -1 + \sqrt{2} $$
On voit ainsi que le corps \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \) est une extension finie de \( \mathbb{Q} \). L’adjonction de l’élément \( \sqrt{2} \) suffit pour engendrer tout le corps.
Ce corps contient bien sûr tous les rationnels, mais aussi des éléments algébriques qui n’appartiennent pas à \( \mathbb{Q} \), comme \( \sqrt{2} \). Il fournit ainsi un exemple simple et très représentatif de ce que l’on appelle un corps de nombres.
Et l’étude peut continuer à partir de là.
