Diviseurs de zéro
Dans un anneau commutatif (S,+,·), on appelle diviseur de zéro tout élément non nul a≠0 pour lequel il existe un autre élément non nul b≠0 tel que leur produit soit égal à zéro: $$ \exists \ a,b \in S \ , \ a \ne 0 \ , \ b \ne 0 \ | \ a \cdot b = 0 $$
Si vous avez surtout pratiqué l'arithmétique classique, l'idée peut sembler étrange. Dans l'anneau des nombres réels, par exemple, il est impossible qu'un produit s'annule sans que l'un des facteurs soit lui-même nul. Rien de tel en algèbre abstraite, où certaines structures présentent des comportements beaucoup plus riches.
Remarque. Dès l'école, on apprend que diviser par zéro n'a pas de sens. On en déduit souvent, presque inconsciemment, que le zéro est un « obstacle » dans les produits. Découvrir des anneaux où un produit peut s'annuler sans que l'un des facteurs soit nul est donc une vraie rupture dans nos habitudes de pensée.
Pour comprendre ce mécanisme, le plus efficace est d'observer un cas concret issu de l'arithmétique modulaire.
Un exemple concret
Considérons les classes d'équivalence modulo 6:
$$ Z_6 = \{ 0,1,2,3,4,5 \} $$
Ce système forme un anneau commutatif muni des opérations usuelles définies modulo 6:
$$ (Z_6,+, \cdot) $$
Pour savoir si ce cadre algébrique contient des diviseurs de zéro, il suffit d'examiner sa table de multiplication:
| a ·6 b | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 0 | 2 | 4 | 0 | 2 | 4 |
| 3 | 0 | 3 | 0 | 3 | 0 | 3 |
| 4 | 0 | 4 | 2 |
0 | 4 | 2 |
| 5 | 0 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
L'observation est immédiate: 2, 3 et 4 sont des diviseurs de zéro dans Z₆.
Voyons rapidement comment cela se manifeste pour 2 et 3:
$$ 2 \cdot 3 \equiv 0 \mod 6 $$
Explication. Le produit vaut: $$ 2 \cdot 3 = 6 $$ Réduction modulo 6: $$ 6 \div 6 = 1 \ \ r = 0 $$ Le reste nul montre que le produit est bien égal à zéro dans Z₆. Le raisonnement est identique pour 3·2.
Le couple 4 et 3 donne le même résultat:
$$ 4 \cdot 3 \equiv 0 \mod 6 $$
Explication. Le calcul donne: $$ 4 \cdot 3 = 12 $$ Réduction modulo 6: $$ 12 \div 6 = 2 \ \ r = 0 $$ Le reste nul confirme que le produit s'annule dans cet anneau.
Et dans les nombres réels?
On peut comparer cette situation avec celle, bien familière, de l'anneau des nombres réels (R,+,·):
$$ (R,+,*) $$
Dans les réels, le phénomène est beaucoup plus restrictif:
$$ \forall \ a,b \in R \ , \ a \ne 0 \ , \ b \ne 0 \ \Longrightarrow \ ab \ne 0 $$
En d'autres termes, si un produit s'annule, l'un des facteurs est nécessairement nul:
$$ ab = 0 \ \Longrightarrow \ a = 0 \ \text{ou} \ b = 0 $$
Les réels ne contiennent donc aucun diviseur de zéro.
Pourquoi c'est important
Les diviseurs de zéro jouent un rôle fondamental dans l'étude des anneaux. Leur présence ou leur absence permet de distinguer les anneaux qui se comportent comme des domaines intègres de ceux où les produits peuvent s'annuler de façon inattendue. Cette distinction structurelle influence de nombreux résultats et méthodes en algèbre.
Comprendre ces phénomènes, même dans des cas simples comme Z₆, aide à développer l'intuition indispensable pour naviguer dans les structures algébriques plus avancées.
