Monoïdes

Un monoïde est un semi-groupe (S, *) qui possède un élément neutre e appartenant à S, tel que : $$ \forall a \in S, \ e * a = a * e = a $$

Une structure algébrique (S, *) est un monoïde si elle constitue un groupoïde, vérifie toutes les propriétés d’un semi-groupe (en particulier l’associativité), et admet un élément neutre e pour l’opération * sur l’ensemble S.

Exemple

Le semi-groupe (N, ·) est formé de l’ensemble des nombres naturels muni de l’opération de multiplication (·).

Cette structure, qui est un groupoïde, constitue un semi-groupe car la multiplication est associative.

Elle est également un monoïde, puisque l’opération admet un élément neutre : le nombre 1.

En effet, multiplier n’importe quel élément de (N, ·) par 1 donne cet élément lui-même :

$$ a \cdot 1 = 1 \cdot a = a $$

Et ainsi de suite.