A imagem de um espaço conexo por uma aplicação contínua é conexa
Seja \( X \) um espaço topológico conexo e seja \( f : X \to Y \) uma aplicação contínua. Então a imagem \( f(X) \) é um subconjunto conexo de \( Y \).
Em termos simples, uma aplicação contínua não é capaz de "quebrar" a conexidade de um espaço. Quando partimos de um espaço conexo e aplicamos uma função contínua, o resultado continua a formar um todo indivisível.
Se considerarmos um espaço conexo \( X \) e o transformarmos por meio de uma aplicação contínua \( f \), o conjunto obtido \( f(X) \) mantém-se "numa só peça". A continuidade impede que o espaço seja separado em partes independentes ou desconectadas.
É exatamente nesse sentido que se afirma que a conexidade é uma propriedade preservada pelas aplicações contínuas.
O que significa "conexo"? Um espaço topológico diz-se conexo quando não pode ser escrito como a união de dois conjuntos abertos, disjuntos e não vazios. De forma intuitiva, um espaço conexo não pode ser dividido em duas partes isoladas. Por exemplo, um segmento de reta é conexo, enquanto um conjunto formado por dois pontos isolados não é conexo.
Um exemplo concreto
Consideremos o espaço topológico
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
O intervalo fechado \( [0,1] \) é conexo. Podemos encará-lo como um conjunto contínuo, sem falhas nem interrupções.
Definamos a aplicação \( f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) por
$$ f(x) = 2x $$
Essa aplicação é contínua. A sua imagem é, portanto,
$$ f([0,1]) = [0,2] $$
O conjunto \( f(X) = [0,2] \) é novamente um intervalo real. Como todo intervalo real, ele é conexo.
Este exemplo mostra de forma clara que uma aplicação contínua não rompe a conexidade do conjunto de partida.
Observação. Para que um conjunto não fosse conexo, seria necessário decompô-lo em dois abertos disjuntos e não vazios cuja união o recobrisse completamente. Isso é impossível no caso de um intervalo real como \( [0,2] \), pois qualquer tentativa de separação deixaria inevitavelmente pelo menos um ponto de fora. Por essa razão, todo intervalo real é conexo.
Exemplo 2
Consideremos novamente o espaço
$$ X = [0,1] \subset \mathbb{R} $$
O intervalo \( [0,1] \) é conexo.
Definamos agora a aplicação \( f : [0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) por
$$ f(x) = 0 $$
A aplicação \( f \) é contínua e a sua imagem é
$$ f(X) = \{ 0 \} $$
Geometricamente, todo o intervalo \( [0,1] \) é comprimido num único ponto (\( 0 \)).
Ainda assim, o conjunto obtido permanece conexo. O conjunto unitário \( \{ 0 \} \) não é vazio e não pode ser dividido em partes separadas.
Este exemplo ilustra que, mesmo quando uma aplicação contínua reduz todo um espaço a um único ponto, a conexidade da imagem é preservada.
Observação. A aplicação comprime o intervalo sem o fragmentar. Uma aplicação contínua pode identificar pontos distintos ou reduzir a dimensão de um espaço, mas não pode produzir uma separação. Para obter uma imagem não conexa, seria indispensável a presença de uma descontinuidade.
A demonstração
A demonstração baseia-se num raciocínio por absurdo.
Suponhamos que \( X \) seja um espaço conexo, mas que a sua imagem por uma aplicação contínua, denotada por \( f(X) \), não seja conexa.
Se \( f(X) \) não fosse conexa, existiriam dois conjuntos abertos \( U \) e \( V \) que constituiriam uma separação de \( f(X) \). Em outras palavras, teríamos
\( f(X) \subset U \cup V \),
e cada ponto de \( f(X) \) pertenceria a exatamente um dos dois conjuntos, não pertencendo simultaneamente a ambos.
O passo decisivo é o seguinte. Como \( f \) é contínua, a pré-imagem de qualquer conjunto aberto é um conjunto aberto. Assim, obtemos:
- \( f^{-1}(U) \) é um aberto de \( X \)
- \( f^{-1}(V) \) é um aberto de \( X \)
Esses dois abertos são disjuntos, não vazios, e a sua união recobre todo o espaço \( X \).
Dessa forma, \( X \) seria decomposto em dois abertos disjuntos e não vazios, o que contradiz a hipótese de que \( X \) é conexo.
Essa contradição mostra que a suposição inicial é falsa. Conclui-se, portanto, que a imagem de um espaço conexo por uma aplicação contínua é necessariamente conexa.
Observação. De forma intuitiva, uma aplicação contínua pode dobrar, esticar ou comprimir um espaço, mas não pode cortá-lo nem fragmentá-lo. A separação de um espaço em partes independentes exige sempre a introdução de uma descontinuidade.
E assim por diante.
