Conexidade e fecho
Seja \( X \) um espaço topológico e seja \( C \) um subconjunto conexo de \( X \). Se um conjunto \( A \) contém \( C \) e está contido no fecho de \( C \), \[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \] então \( A \) também é um subconjunto conexo de \( X \).
Este resultado exprime uma ideia simples e bastante natural. Quando começamos com um conjunto conexo e acrescentamos apenas pontos que permanecem "colados" a ele, sem criar cortes nem separações, a conexidade não se perde.
De facto, o conjunto \( C \) já é conexo, o que significa que não admite qualquer decomposição interna em partes separadas. Como \( A \) contém \( C \), nenhuma região do conjunto inicial é removida.
Além disso, a condição \( A \subset \operatorname{Cl}(C) \) é essencial. Os novos pontos eventualmente adicionados não ficam isolados de \( C \). Em termos topológicos, isso equivale a dizer que toda vizinhança aberta desses pontos intersecta necessariamente \( C \).
Por essa razão, a conexidade de \( C \) prolonga-se naturalmente ao conjunto maior \( A \).
Um exemplo concreto
Consideremos o espaço topológico \( X = \mathbb{R} \), munido da sua topologia usual, e tomemos como \( C \) um intervalo aberto.
$$ C = (0,1) $$
O conjunto \( C \) é conexo em \( \mathbb{R} \), pois todo intervalo da reta real é um subconjunto conexo.
O fecho de \( C \) é dado por
\[ \operatorname{Cl}(C) = [0,1] \]
Escolhamos agora um conjunto \( A \) tal que \( C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \). Um exemplo simples é
\[ A = (0,1] \]
Verificamos imediatamente que
$$ C \subset A $$
$$ (0,1) \subset (0,1] $$
e também que
$$ A \subset \operatorname{Cl}(C) $$
$$ (0,1] \subset [0,1] $$
Logo, o conjunto \( A = (0,1] \) é igualmente conexo em \( \mathbb{R} \).
Intuitivamente, partimos do conjunto conexo \( (0,1) \) e apenas acrescentámos o ponto \( 1 \), que pertence ao fecho do conjunto inicial. Essa adição não cria qualquer separação.
Assim, o conjunto \( A \) mantém a propriedade de conexidade.
Demonstração
Seja \( X \) um espaço topológico e seja \( C \subset X \) um subconjunto conexo.
Seja \( A \) um conjunto tal que
\[ C \subset A \subset \operatorname{Cl}(C) \]
Para provar que \( A \) é conexo em \( X \), raciocinemos por absurdo e suponhamos que \( A \) não é conexo.
Nesse caso, existe uma separação de \( A \). Isto significa que existem dois abertos \( U \) e \( V \) de \( X \) tais que:
- \( U \) e \( V \) são abertos de \( X \)
- \( A \subset U \cup V \)
- \( A \cap U \neq \varnothing \) e \( A \cap V \neq \varnothing \)
- \( A \cap U \cap V = \varnothing \)
Consideremos agora o conjunto \( C \).
Como \( C \subset A \), podemos escrever:
\[ C = (C \cap U) \cup (C \cap V) \]
Além disso,
\[ (C \cap U) \cap (C \cap V) = C \cap U \cap V \subset A \cap U \cap V = \varnothing \]
Deste modo, \( C \) aparece como a união de dois subconjuntos disjuntos.
Os conjuntos \( C \cap U \) e \( C \cap V \) são abertos em \( C \) relativamente à topologia induzida, pois resultam da interseção de \( C \) com abertos de \( X \).
Isso implicaria que \( C \) admite uma separação, a menos que um desses subconjuntos seja vazio.
No entanto, \( C \) é conexo e não admite qualquer separação.
Conclui-se, portanto, que um dos dois conjuntos tem de ser vazio:
\[ C \cap U = \varnothing \quad \text{ou} \quad C \cap V = \varnothing \]
Suponhamos, sem perda de generalidade, que
\[ C \cap V = \varnothing \]
Então \( C \) está inteiramente contido no aberto \( U \):
\[ C \subset U \]
Como \( A \cap V \neq \varnothing \), escolhemos um ponto
\[ x \in A \cap V \]
A condição \( A \subset \operatorname{Cl}(C) \) implica que
\[ x \in \operatorname{Cl}(C) \]
Contudo, como \( x \in V \) e \( V \) é um aberto de \( X \), o ponto \( x \) possui uma vizinhança aberta que não intersecta \( C \).
Isso contradiz a definição de fecho, segundo a qual um ponto pertence ao fecho de \( C \) se, e somente se, toda vizinhança aberta desse ponto intersecta \( C \).
Em particular, temos
\[ x \in V \ \text{aberto}, \ V \cap C = \varnothing \quad \Rightarrow \quad x \notin \operatorname{Cl}(C) \]
Esta contradição mostra que a suposição inicial é falsa.
Concluímos, assim, que
\[ A \ \text{é conexo em} \ X \]
o que completa a demonstração.
E assim por diante.
