Conectividade de subconjuntos

Um subconjunto $ A $ de um espaço topológico $ X $ é considerado conexo em $ X $ quando, ao receber a topologia de subespaço induzida por $ X $, passa a formar um espaço topológico conexo.

Essa ideia permite analisar a conectividade não apenas do espaço inteiro, mas também de qualquer uma de suas partes. O procedimento é simples. Observamos como a topologia de $ X $ se restringe ao subconjunto e avaliamos se essa estrutura preserva a conectividade.

Em outras palavras, queremos saber se o subconjunto continua "inteiro" do ponto de vista topológico quando o olhamos com a topologia herdada.

Nota. Para verificar se $ A $ é conexo, considera-se a topologia de subespaço e examina-se se $ A $ pode ser decomposto em duas partes não vazias, disjuntas e abertas nessa topologia. Se essa decomposição for possível, $ A $ não é conexo. Se não for possível, $ A $ permanece conexo.

Um exemplo concreto

Tomemos a reta real $ \mathbb{R} $ com sua topologia usual e analisemos o conjunto:

$$ A = [-1,0) \cup (0,1] $$

Esse conjunto exclui apenas um ponto, o zero. À esquerda, contém todos os reais de $-1$ até antes de $0$. À direita, reúne os reais de $0$ até $1$, novamente sem incluir o zero.

A ausência de um único ponto já basta para dividir o conjunto em duas partes completamente separadas:

o intervalo $[-1,0)$
o intervalo $(0,1]$

Podemos nomeá-los assim:

$$ U = [-1,0) $$

$$ V = (0,1] $$

Para a topologia de subespaço, tanto $ U $ quanto $ V $ são abertos em $ A $. Além disso, não possuem elementos em comum e, juntos, recuperam exatamente o conjunto inicial. Isso é precisamente o que caracteriza um espaço não conexo.

$$ U \cap V = \emptyset $$

$$ U \cup V = A $$

Assim, concluímos que o subconjunto $ A $, visto como subespaço de $ \mathbb{R} $, não é conexo.