Caracterizar conjuntos desconexos por meio de abertos do espaço

De forma simples, um conjunto é desconexo quando suas partes podem ser separadas usando apenas abertos do espaço ambiente. Essa ideia é essencial para entender como diferentes regiões se organizam dentro de um espaço topológico e por que algumas delas não conseguem se conectar de maneira contínua.

Por que esse critério é tão útil?

Porque permite identificar a desconexão observando apenas a estrutura dos abertos. Em vez de depender de imagens geométricas ou construções mais complicadas, analisamos como os abertos se comportam em torno do conjunto. É uma abordagem direta, eficaz e muito utilizada na prática.

Primeiro exemplo

Comecemos com um caso clássico em \( \mathbb{R} \) :

$$ A = [0,1] \cup [2,3] $$

Os dois intervalos estão claramente separados. Entre eles há um intervalo que não contém qualquer ponto de \(A\).

• \([0,1]\)
• \([2,3]\)

Vamos aplicar o critério usando dois abertos simples.

Escolhemos :

• \(U = (-1,1.5)\)
• \(V = (1.5,4)\)

O resultado é imediato :

$$ U \cap A = [0,1] $$

$$ V \cap A = [2,3] $$

Não existe ponto de \(A\) pertencendo aos dois ao mesmo tempo :

$$ (U \cap V) \cap A = \varnothing $$

Temos aqui um exemplo claro de conjunto desconexo.

Segundo exemplo

Agora vejamos um caso ainda mais simples.

$$ A = \{1, 3\} $$

Dois pontos isolados não formam uma estrutura contínua entre si. A desconexão é imediata.

Aplicando o critério:

$$ U = (0,2) $$

$$ V = (2,4) $$

As interseções são:

$$ U \cap A = \{1\} $$

$$ V \cap A = \{3\} $$

Sem qualquer ponto em comum:

$$ U \cap V \cap A = \varnothing $$

Um exemplo mínimo, mas perfeito, de desconexão.

Terceiro exemplo

Agora passemos ao plano e retiramos o eixo \(x\) :

$$ A = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y>0\} \cup \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 : y<0\} $$

Ao removermos o eixo, criamos uma barreira que impede qualquer ligação contínua entre as duas regiões.

Tomemos dois abertos simples:

$$ U = \{(x,y) : y > -1\} $$

$$ V = \{(x,y) : y < 1\} $$

Esses abertos cobrem as duas partes do conjunto:

• \(U \cap A\) cobre todo o semi-plano superior
• \(V \cap A\) cobre todo o semi-plano inferior

Sem qualquer sobreposição dentro de \(A\) :

$$ (U \cap V) \cap A = \varnothing $$

Outra desconexão evidente, agora em duas dimensões.

Demonstração do critério

A] Se tais abertos existem, então \(A\) é desconexo

Se encontramos abertos \(U\) e \(V\) que satisfazem as condições, definimos:

\[ P = U \cap A,\qquad Q = V \cap A \]

Esses conjuntos:

• são não vazios
• são abertos na topologia induzida
• são disjuntos
• recobrem \(A\)

Portanto formam uma separação de \(A\). Isso mostra que \(A\) é desconexo.

B] Se \(A\) é desconexo, então existem tais abertos

Se \(A\) já é desconexo, então existem subconjuntos:

$$ P, Q \subset A $$

abertos na topologia induzida, não vazios e disjuntos. Como são abertos em \(A\), existem abertos \(U, V \subset X\) tais que:

$$ P = U \cap A,\qquad Q = V \cap A $$

Verificamos então:

• \(A \subset U \cup V\)
• \(U \cap A = P\)
• \(V \cap A = Q\)
• \((U \cap V) \cap A = \varnothing\)

Logo, esses abertos separam \(A\) exatamente como prevê o critério.

C] Conclusão

Esse critério oferece uma visão clara do que significa um conjunto ser desconexo: basta que ele possa ser recoberto por dois abertos não vazios e disjuntos cujas interseções com o conjunto formem uma separação. É uma ferramenta essencial para analisar a estrutura de espaços topológicos, ajudando a compreender como diferentes regiões podem se isolar dentro do próprio espaço.