Diferencia entre un campo general y un campo numérico
Un campo numérico es una subclase de los campos generales, cuyos elementos son números.
- Campo: En términos algebraicos, un campo es cualquier estructura que satisface las propiedades axiomáticas de un campo, sin que sus elementos deban ser necesariamente números; pueden ser entidades más abstractas, como funciones, polinomios u otras construcciones algebraicas. Consiste en un conjunto de elementos y dos operaciones (suma y multiplicación) que cumplen reglas específicas.
- Campo numérico: Es un campo cuyos elementos son números o extensiones de campos numéricos, empleado habitualmente en teoría de números. Ejemplos típicos son el campo de los números racionales \( \mathbb{Q} \), el de los números reales \( \mathbb{R} \), o el de los números complejos \( \mathbb{C} \).
En álgebra de números, el término "campo numérico" también puede referirse a una extensión finita del campo de los números racionales \( \mathbb{Q} \), como \( \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \), el campo generado al añadir \( \sqrt{2} \) a \( \mathbb{Q} \).
Así, un campo numérico es un caso particular de campo. En general, todo campo numérico es un campo, pero no todo campo es necesariamente un campo numérico.
Un ejemplo práctico
Veamos un ejemplo práctico que ilustra la diferencia entre un campo numérico y un campo general:
Ejemplo 1
Consideremos el campo de los números racionales \( \mathbb{Q} \), formado por todas las fracciones de la forma \( \frac{a}{b} \), donde \( a \) y \( b \) son enteros y \( b \neq 0 \).
En \( \mathbb{Q} \), es posible realizar operaciones de suma, resta, multiplicación y división (salvo división por cero), y estas operaciones satisfacen todas las propiedades que definen un campo.
- Suma: \( \frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{7}{6} \)
- Multiplicación: \( \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \)
- División (salvo por 0): \( \frac{1}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4} \)
Este es un ejemplo de campo numérico, pues sus elementos son números y se pueden realizar entre ellos todas las operaciones características de un campo.
Ejemplo 2
Consideremos ahora el campo de las funciones racionales \( \mathbb{F}(x) \), compuesto por todas las funciones racionales, es decir, cocientes de polinomios con coeficientes en un campo \( \mathbb{F} \).
Por ejemplo, podemos tener \( f(x) = \frac{p(x)}{q(x)} \), donde \( p(x) \) y \( q(x) \) son polinomios, con \( q(x) \neq 0 \).
En este caso, las operaciones se efectúan sobre funciones racionales en lugar de números, pero la estructura sigue satisfaciendo los axiomas de campo.
- Suma: Si \( f(x) = \frac{1}{x+1} \) y \( g(x) = \frac{2}{x+2} \), entonces \( f(x) + g(x) = \frac{1}{x+1} + \frac{2}{x+2} = \frac{(x+2) + 2(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{3x+4}{(x+1)(x+2)} \).
- Multiplicación: \( f(x) \times g(x) = \frac{1}{x+1} \times \frac{2}{x+2} = \frac{2}{(x+1)(x+2)} \).
- División: \( \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\frac{1}{x+1}}{\frac{2}{x+2}} = \frac{x+2}{2(x+1)} \).
Este es un ejemplo de campo general no numérico, ya que sus elementos son expresiones algebraicas (polinomios o cocientes de polinomios), no números en sentido estricto.
Y así sucesivamente.
