Cálculo de integrales - Ejercicio 27
En este ejercicio se nos pide calcular la siguiente integral indefinida:
$$ \int 2 \cdot \tan^2(x) - 1 \ dx $$
Se trata de una integral elemental que puede resolverse de varias formas, todas ellas basadas en identidades trigonométricas y en la linealidad del operador integral.
Solución 1
Empezamos separando la expresión, aprovechando la linealidad de la integral:
$$ \int 2 \cdot \tan^2(x) \ dx - \int 1 \ dx $$
$$ = 2 \cdot \int \tan^2(x) \ dx - \int 1 \ dx $$
El segundo término se calcula de inmediato:
\( \int 1 \ dx = x + c \).
La expresión queda entonces:
$$ 2 \cdot \int \tan^2(x) \ dx - x + c $$
Para continuar, recordamos una identidad trigonométrica muy útil:
$$ \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1 $$
Explicación. Partimos de la identidad pitagórica: $$ \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 $$ Dividiendo ambos miembros entre \( \cos^2(x) \), se obtiene: $$ \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} + 1 = \frac{1}{\cos^2(x)} $$ De aquí se deduce: $$ \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1 $$ Usando la definición de la tangente, llegamos a: $$ \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} - 1 $$
Sustituimos esta identidad en la integral:
$$ 2 \cdot \int \left( \frac{1}{\cos^2(x)} - 1 \right) dx - x + c $$
Aplicamos de nuevo la linealidad:
$$ 2 \cdot \left( \int \frac{1}{\cos^2(x)} \ dx - \int 1 \ dx \right) - x + c $$
Calculamos ahora cada integral por separado. Sabemos que \( \int \frac{1}{\cos^2(x)} \ dx = \tan(x) + C \) y que \( \int 1 \ dx = x + C \).
Por tanto:
$$ 2 \cdot (\tan(x) - x) - x + c $$
$$ = 2 \tan(x) - 2x - x + c $$
$$ = 2 \tan(x) - 3x + c $$
Este es el resultado final obtenido con este primer método.
Solución 2
Veamos ahora un enfoque alternativo, partiendo de nuevo de la integral original:
$$ \int 2 \cdot \tan^2(x) - 1 \ dx $$
Utilizamos la definición de la tangente: \( \tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \).
Reescribimos el integrando:
$$ \int 2 \cdot \frac{\sin^2(x)}{\cos^2(x)} - 1 \ dx $$
Lo expresamos como una sola fracción:
$$ \int \frac{2 \sin^2(x) - \cos^2(x)}{\cos^2(x)} \ dx $$
Aplicamos ahora la identidad trigonométrica \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) y sustituimos:
$$ \int \frac{2(1 - \cos^2(x)) - \cos^2(x)}{\cos^2(x)} \ dx $$
$$ = \int \frac{2 - 2\cos^2(x) - \cos^2(x)}{\cos^2(x)} \ dx $$
$$ = \int \frac{2 - 3\cos^2(x)}{\cos^2(x)} \ dx $$
Separando los términos de la fracción:
$$ = \int \left( \frac{2}{\cos^2(x)} - \frac{3\cos^2(x)}{\cos^2(x)} \right) dx $$
$$ = \int \frac{2}{\cos^2(x)} \ dx - \int 3 \ dx $$
Aplicamos una vez más la linealidad:
$$ 2 \cdot \int \frac{1}{\cos^2(x)} \ dx - 3 \cdot \int 1 \ dx $$
Ambas integrales son inmediatas: \( \int \frac{1}{\cos^2(x)} \ dx = \tan(x) + C \) y \( \int 1 \ dx = x + C \).
Finalmente, obtenemos:
$$ 2 \tan(x) - 3x + c $$
Como era de esperar, este segundo procedimiento conduce al mismo resultado, confirmando la corrección del cálculo.
