Criterio del cociente para la convergencia de series
Sea (an) una sucesión de términos positivos y supóngase que existe el límite del cociente $$ l = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} $$ Si dicho límite es menor que 1, la serie es convergente $$ l<1 \Rightarrow \sum_{k=1}^{\infty} a_k < + \infty $$ Si el límite es mayor que 1, la serie es divergente $$ l>1 \Rightarrow \sum_{k=1}^{\infty} a_k = + \infty $$
A lo largo de todo el criterio se supone que la sucesión está formada por términos positivos.
¿Para qué se utiliza este criterio?
El criterio del cociente es una herramienta directa y muy eficaz para estudiar la convergencia de series, especialmente cuando intervienen potencias, factoriales o expresiones exponenciales.
Advertencia. Si el límite es igual a 1, el criterio del cociente no permite decidir. En ese caso, es necesario recurrir a otro criterio de convergencia.
Ejemplos
Ejemplo 1
Consideremos la serie
$$ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^2}{2^n} $$
La sucesión asociada tiene términos positivos, por lo que podemos aplicar el criterio del cociente.
Calculamos el límite
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} $$
donde
$$ a_n = \frac{n^2}{2^n} $$
$$ a_{n+1} = \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} $$
Entonces
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{ \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} }{ \frac{n^2}{2^n} } $$
Reordenamos la expresión
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^2}{2^{n+1}} \cdot \frac{2^n}{n^2} $$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^2}{2} \cdot \frac{1}{n^2} $$
$$ \frac{1}{2} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(n+1)^2}{n^2} $$
Este límite presenta la forma indeterminada ∞/∞. Para resolverla, aplicamos la regla de L'Hôpital.
$$ \frac{1}{2} \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n+2}{2n} $$
$$ \frac{1}{2} \cdot 1 $$
Obtenemos $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{2} < 1 $$
Por tanto, la serie es convergente.
$$ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n^2}{2^n} $$
Representación gráfica de la serie
Ejemplo 2
Consideremos ahora la serie
$$ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2^n}{n^5} $$
De nuevo, la sucesión tiene términos positivos y podemos aplicar el criterio.
Calculamos
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} $$
donde
$$ a_n = \frac{2^n}{n^5} $$
$$ a_{n+1} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)^5} $$
Entonces
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1)^5} \cdot \frac{n^5}{2^n} $$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2 \cdot n^5}{(n+1)^5} $$
$$ 2 \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^5}{(n+1)^5} $$
De nuevo aparece una forma indeterminada ∞/∞. Aplicamos la regla de L'Hôpital de forma sucesiva.
$$ 2 \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{5n^4}{5(n+1)^4} $$
$$ 2 \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{4n^3}{4(n+1)^3} $$
$$ 2 \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3n^2}{3(n+1)^2} $$
$$ 2 \cdot \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n}{2(n+1)} $$
$$ 2 \cdot 1 $$
Obtenemos $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = 2 > 1 $$
Por tanto, la serie es divergente.
$$ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{2^n}{n^5} = + \infty $$
Representación gráfica de la serie
Demostración del criterio
Consideremos la serie
$$ \sum_{k=1}^{\infty} a_k $$
donde (ak) es una sucesión de términos positivos.
Caso 1. Convergencia
Supongamos que $$ l = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} < 1 $$
Elegimos un número x tal que $$ l < x < 1 $$
Entonces existe un índice v a partir del cual $$ \frac{a_{n+1}}{a_n} < x $$
equivalentemente, $$ a_{n+1} < x \cdot a_n $$
Iterando esta desigualdad se obtiene
$$ a_n < x^{n-1} \cdot a_1 $$
Sumando término a término
$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n < \sum_{n=1}^{\infty} x^{n-1} \cdot a_1 $$
La serie de la derecha es geométrica y converge si 0<x<1. Por el criterio de comparación, la serie original también converge.
Caso 2. Divergencia
Supongamos ahora que $$ l > 1 $$
Entonces, a partir de cierto índice, $$ a_{n+1} > a_n $$
La sucesión es creciente y, por tanto, no puede tender a cero.
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \ne 0 $$
Al no cumplirse la condición necesaria de convergencia, la serie es divergente.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = + \infty $$
