Convergencia de series

Una serie s_n se denomina convergente si su límite, cuando n tiende a infinito, es un número real finito S. $$ \lim_{n \rightarrow \infty} s_n = S $$

En otras palabras, una serie es convergente cuando la sucesión de sus sumas parciales se aproxima cada vez más a un valor fijo.

Un ejemplo práctico

Para entenderlo mejor, consideremos la serie de Mengoli:

$$ s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} $$

Sus primeras sumas parciales son:

$$ s_1 = \frac{1}{1 \cdot 2} $$

$$ s_2 = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} $$

$$ s_3 = \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 4} $$

A medida que añadimos más términos, las sumas parciales se estabilizan.

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} s_n = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} = 1 $$

Esto significa que la serie converge a 1.

Condición necesaria de convergencia

Una serie s_n solo puede converger si su término general a_n tiende a cero cuando n tiende a infinito.

Esta condición es imprescindible, pero por sí sola no garantiza la convergencia.

Ejemplo práctico

Retomemos la serie de Mengoli:

$$ s_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)} $$

Ya sabemos que converge a 1:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} s_n = 1 $$

La sucesión de términos asociada es:

$$ a_n = \frac{1}{n(n+1)} $$

Si calculamos algunos valores:

$$ a_1 = \frac{1}{2} $$

$$ a_2 = \frac{1}{6} $$

$$ a_3 = \frac{1}{12} $$

Observamos que los términos se hacen cada vez más pequeños.

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n(n+1)} = 0 $$

Esto confirma la condición necesaria.

Nota. Que los términos tiendan a cero es una condición necesaria, pero no suficiente. Existen series cuyos términos se anulan y, sin embargo, no convergen.

Demostración

Cada suma parcial s_n+1 se obtiene añadiendo el siguiente término a_n+1 a la suma anterior:

$$ s_{n+1} = s_{n}+a_{n+1} $$

Por tanto:

$$ a_{n+1} = s_{n+1} - s_{n} $$

Al tomar el límite cuando n tiende a infinito:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} a_{n+1} = \lim_{n \rightarrow \infty} (s_{n+1} - s_n) = S - S = 0 $$

Esto muestra que, si la serie converge, sus términos necesariamente tienden a cero.

Nota. Para decidir si una serie converge o no, se necesita un criterio más fuerte que esta condición necesaria.

Criterio de convergencia de Cauchy

Una serie s_n converge si, para todo ε>0, existe un número v>0 tal que, para todo n>v y cualquier número natural p, $$ \left| \sum_{k=n+1}^{n+p} a_k \right| < \epsilon $$

Este criterio permite caracterizar completamente la convergencia de una serie.

En términos simples, a partir de cierto punto, cualquier suma parcial adicional puede hacerse tan pequeña como se desee.

Ejemplo

Apliquemos esta idea a la serie anterior.

Para cualquier ε>0, existe un valor a partir del cual el resto de la serie es menor que ε.

Esto garantiza que la serie converge.

Demostración

Consideremos la serie infinita:

$$ s_n = \sum_{k=1}^{\infty} a_k $$

Sucesión de sumas parciales:

$$ s_1, s_2, s_3, ..., s_n $$

Según el criterio de Cauchy, una sucesión converge si y solo si:

$$ |s_m - s_n| <\epsilon $$

para todo ε>0 y para m, n suficientemente grandes.

Si m > n:

$$ s_m - s_n = \sum_{k=n+1}^m a_k $$

Por tanto:

$$ \sum_{k=n+1}^m a_k <\epsilon $$

Explicación. La diferencia entre dos sumas parciales es exactamente la parte final de la serie a partir del término n+1.

Si escribimos m = n + p:

$$ \sum_{k=n+1}^{n+p} a_k <\epsilon $$

Esto completa la demostración del criterio.

Criterios de convergencia

Además del criterio de Cauchy, existen otros métodos útiles para estudiar la convergencia:

• Criterio de comparación
• Criterio del término general
• Criterio del cociente
• Criterio de la raíz
• Criterio integral

...y muchos otros.