Operaciones con series

En el estudio de las series, existen dos operaciones fundamentales que permiten trabajar con ellas de forma sistemática: la suma de series y la multiplicación por un número real, conocida como multiplicación por un escalar. Estas operaciones son la base para manipular series y analizar su comportamiento.

Suma de series

Sean dos series de términos generales a_k y b_k, ambas regulares. Si la expresión $$ \sum_{k=1}^{\infty} a_k + \sum_{k=1}^{\infty} b_k $$ está bien definida en los números reales extendidos \( \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} \), entonces la serie de término general a_k+b_k también es regular y se cumple que $$ \sum_{k=1}^{\infty} (a_k+b_k) = \sum_{k=1}^{\infty} a_k + \sum_{k=1}^{\infty} b_k $$

Ejemplo

Para ilustrar esta propiedad, consideremos las siguientes dos series:

$$ a_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{2^k} $$

$$ b_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{3}{3^k} $$

Ambas son series regulares, ya que convergen:

$$ \lim_{ n \rightarrow \infty } \sum_{k=1}^{n} \frac{2}{2^k} = 2 $$

$$ \lim_{ n \rightarrow \infty } \sum_{k=1}^{n} \frac{3}{3^k} = 3 $$

Nota. Una serie se denomina regular si es convergente o divergente, es decir, si el límite de la sucesión de sumas parciales existe en los números reales extendidos, ya sea como un número real finito o como \( +\infty \) o \( -\infty \).

La siguiente figura muestra su representación en el plano cartesiano:

La suma de ambas series está bien definida en los números reales extendidos.

Nota. La suma debe estar bien definida en los números reales extendidos. Por ejemplo, la suma de dos números finitos (l₁+l₂) siempre está definida. También lo está la suma de un número finito y el infinito (l₁+∞). En cambio, la expresión (∞-∞) es indeterminada y, por tanto, no está definida.

Por tanto, la serie que se obtiene al sumar término a término ambas series también es regular:

$$ a_n + b_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{2}{2^k} + \frac{3}{3^k} \right) $$

$$ a_n + b_n = \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{2}{2^k} + \frac{3}{3^k} \right) $$

Además, esta nueva serie es convergente y su suma es igual a 5:

$$ \lim_{ n \rightarrow \infty } (a_n + b_n) $$

$$ \lim_{ n \rightarrow \infty } \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{2}{2^k} + \frac{3}{3^k} \right) = 5 $$

Desde un punto de vista gráfico:

Multiplicación por un escalar de una serie

Sea c un número real. Si la serie de término general a_k es regular, entonces la serie de término general c·a_k también es regular y se cumple que $$ \sum_{k=1}^{\infty} c \cdot a_k = c \cdot \sum_{k=1}^{\infty} a_k $$

Ejemplo

Consideremos la serie:

$$ s_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} $$

Se trata de una serie convergente, ya que, cuando n→∞, converge a 1:

$$ \lim_{ n \rightarrow \infty } \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} = 1 $$

Su representación gráfica es la siguiente:

 

Multiplicamos ahora la serie por c = 2:

$$ s_n = \sum_{k=1}^{n} 2 \cdot \frac{1}{2^k} $$

Dado que la serie es regular, al ser convergente, podemos aplicar la propiedad de linealidad respecto a la multiplicación por un escalar:

$$ s_n = 2 \cdot \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} $$

La serie 2·s_n sigue siendo regular y además convergente:

$$ \lim_{ n \rightarrow \infty } 2 \cdot \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{2^k} = 2 $$

Por tanto, la nueva serie converge a 2:

Este procedimiento puede aplicarse de forma análoga a cualquier serie regular.