Serie armónica

Se denomina serie armónica a la siguiente suma infinita: $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \dots $$

La serie armónica consiste en sumar los inversos de los números naturales. Es una de las series más conocidas en matemáticas, tanto por su sencillez como por su comportamiento sorprendente.

Aunque sus términos se hacen cada vez más pequeños, la suma total crece sin límite. Este hecho, que puede parecer contraintuitivo, es precisamente lo que la convierte en una serie divergente.

Un ejemplo visual

La siguiente imagen muestra cómo evolucionan las sumas parciales de la serie armónica a medida que aumenta $k$. Es decir, cómo crece la suma al añadir cada nuevo término.

Comportamiento de la serie armónica

La serie armónica diverge cuando $k \to \infty$.

Sin embargo, cada término individual de la serie tiende a cero:

$$ \lim_{k \rightarrow \infty} \frac{1}{k} = 0 $$

Esto cumple la condición necesaria de convergencia de una serie numérica.

Nota. Que los términos tiendan a cero es necesario, pero no basta para garantizar la convergencia. La serie armónica es un ejemplo clásico de este hecho.

En efecto, la serie armónica es una serie divergente.

Demostración

Para demostrar su divergencia, consideremos la sucesión:

$$ a_k = \left(1 + \frac{1}{k} \right)^k $$

Esta sucesión es creciente y converge hacia el conocido límite notable:

$$ \lim_{k \rightarrow \infty} \left(1 + \frac{1}{k} \right)^k = e $$

Por tanto, se cumple:

$$ e \ge \left(1 + \frac{1}{k} \right)^k \quad \text{para todo } k \in \mathbb{N} $$

Aplicando logaritmos naturales en ambos miembros:

$$ \log e \ge \log\left(1 + \frac{1}{k} \right)^k $$

Dado que $\log e = 1$, se obtiene:

$$ 1 \ge k \cdot \log\left(1 + \frac{1}{k} \right) $$

Dividiendo ambos miembros entre $k$:

$$ \frac{1}{k} \ge \log\left(1 + \frac{1}{k} \right) $$

Esta desigualdad es equivalente a:

$$ \frac{1}{k} \ge \log(k+1) - \log(k) $$

Esto significa que cada término de la serie armónica es mayor o igual que el correspondiente en la sucesión de diferencias logarítmicas.

Sumando miembro a miembro desde $k = 1$ hasta $n$:

$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \ge \sum_{k=1}^{n} \left[ \log(k+1) - \log(k) \right] $$

De este modo, la serie armónica es mayor o igual que una suma telescópica.

La suma telescópica se simplifica fácilmente:

$$ \sum_{k=1}^{n} \left[ \log(k+1) - \log(k) \right] = \log(n+1) - \log(1) = \log(n+1) $$

Por tanto:

$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \ge \log(n+1) $$

Explicación. En una serie telescópica, muchos términos se cancelan entre sí: $$ (\log 2 - \log 1) + (\log 3 - \log 2) + \dots + (\log(n+1) - \log n) = \log(n+1) - \log 1 = \log(n+1) $$

Ahora, tomando el límite cuando $n \to \infty$:

$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} \ge \lim_{n \to \infty} \log(n+1) = \infty $$

De aquí se deduce que:

$$ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} = \infty $$

Esto demuestra que la serie armónica diverge.

Demostración alternativa

También es posible demostrar la divergencia utilizando una comparación con una integral.

Para todo $x \ge k$, se cumple:

$$ \frac{1}{x} \le \frac{1}{k} $$

Integrando ambos lados en el intervalo $[k, k+1]$:

$$ \int_k^{k+1} \frac{1}{x} \, dx \le \int_k^{k+1} \frac{1}{k} \, dx $$

Extrayendo la constante $1/k$ de la segunda integral:

$$ \int_k^{k+1} \frac{1}{x} \, dx \le \frac{1}{k} \cdot \int_k^{k+1} dx = \frac{1}{k} $$

Sumando desde $k = 1$ hasta $n$:

$$ \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{1}{x} \, dx \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$

El miembro izquierdo corresponde a la integral entre 1 y $n+1$:

$$ \int_1^{n+1} \frac{1}{x} \, dx \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$

Explicación. La suma $$ \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{1}{x} \, dx = \int_1^2 \frac{1}{x} \, dx + \int_2^3 \frac{1}{x} \, dx + \dots + \int_n^{n+1} \frac{1}{x} \, dx $$ representa el área bajo la curva $1/x$ desde $x = 1$ hasta $x = n+1$, es decir $$ \int_1^{n+1} \frac{1}{x} \, dx $$

Calculando la integral se obtiene:

$$ \log(n+1) - \log(1) = \log(n+1) $$

Por tanto:

$$ \log(n+1) \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$

Tomando el límite cuando $n \to \infty$:

$$ \lim_{n \to \infty} \log(n+1) \le \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$

Dado que el logaritmo crece sin límite, se concluye:

$$ \infty \le \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$

Por el criterio de comparación, la serie armónica diverge.

Con esto queda establecida de forma rigurosa su divergencia.