Series

Una serie s_n es la suma de los primeros n términos de una sucesión a_n. También se denomina suma parcial n-ésima. $$ s_n = a_1+a_2+...+a_n $$ o, de forma equivalente: $$ s_n = \sum_{k=1}^n a_k $$

En otras palabras, cada suma parcial s_k se obtiene al ir acumulando los términos de la sucesión uno a uno.

Si una sucesión tiene n términos, la serie asociada genera n sumas parciales, una para cada valor de k = 1...n.

$$ s_1, s_2, ... , s_n $$

Nota. La sucesión de sumas parciales s_n, cuando n tiende a infinito (n→∞), permite definir la serie asociada a la sucesión original.

Ejemplo de serie

Consideremos la sucesión a_n:

$$ a_n = 2n $$

Sus primeros términos son:

$$ 2, 4, 6, 8, 10, ... $$

Las sumas parciales de la serie s_n se calculan así:

$$ s_1 = 2 $$

$$ s_2 = 2+4 = 6 $$

$$ s_3 = 2+4+6 = 12 $$

$$ s_4 = 2+4+6+8 = 20 $$

$$ s_5 = 2+4+6+8+10 = 30 $$

De este modo, la sucesión de sumas parciales queda:

$$ s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, ... , s_n $$

$$ 2, 6, 12, 20, 30, ... , s_n $$

En el siguiente gráfico se representa la sucesión de sumas parciales (en rojo) en el plano cartesiano.

¿Cuál es la diferencia entre una serie y una sucesión? Una sucesión es una lista ordenada de términos a_k. Una serie, en cambio, es la sucesión de sumas parciales s_k que se obtiene al sumar los términos de una sucesión. Por ejemplo, el tercer término de la sucesión es a₃ = 6, mientras que la tercera suma parcial es s₃ = a₁ + a₂ + a₃ = 2 + 4 + 6 = 12.

Series infinitas

Una serie se denomina serie infinita cuando n = ∞.

$$ \sum_{k=1}^∞ a_k $$

Una serie infinita se define como el límite de la sucesión de sumas parciales s_n cuando n tiende a infinito:

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} s_n $$

¿Por qué es relevante el límite de una serie?

El límite determina el comportamiento de la serie, es decir, si converge, diverge o no tiene un valor bien definido.

Nota. Una serie se considera regular si es convergente o divergente. Si no presenta ninguno de estos comportamientos, se denomina serie irregular.

Convergencia de una serie

El comportamiento de una serie indica si converge, diverge o no admite límite.

• Serie convergente. Una serie converge si el límite de la sucesión de sumas parciales existe y es un número finito. En ese caso, s_n tiende a un valor finito S cuando n→∞, llamado suma de la serie: $$ \lim_{n \rightarrow ∞} s_n = S $$

  Nota. La suma de la serie coincide con la suma infinita de los términos de la sucesión a_n: $$ S = \sum_{k=1}^∞ a_k $$

• Serie divergente. Una serie diverge si el límite de la sucesión de sumas parciales tiende a infinito positivo o negativo: $$ \lim_{n \rightarrow ∞} s_n = ±∞ $$
• Indeterminada. Una serie es indeterminada si el límite no existe. Este es el caso de las series irregulares.

Y así sucesivamente.