Series numéricas y sumas parciales
Dada una sucesión \( a_n \), la serie asociada se describe mediante la sucesión de sumas parciales \( s_n \), que representa la suma de sus primeros n términos: $$ s_n = a_1+a_2+...+a_n $$ En forma compacta, puede escribirse con la notación de sumatoria: $$ s_n = \sum_{i=1}^n a_i $$
Una forma sencilla de entender una serie es verla como una suma acumulada: cada término nuevo se añade al total que ya se ha obtenido.
La cantidad \( s_n \) se denomina n-ésima suma parcial. Indica el valor de la serie después de sumar los primeros n términos.
En general, los términos \( s_k \) reciben el nombre de sumas parciales. Cada uno representa la suma de los primeros k términos de la sucesión.
$$ s_k = \sum_{i=1}^k a_i = a_1 + a_2 + a_3 + ... + a_k $$
Si la sucesión \( a_k \) consta de k términos, existen exactamente k sumas parciales asociadas:
$$ s_1, s_2, ... , s_k $$
En la mayoría de los casos, la sumatoria comienza en \( i=1 \), aunque no es imprescindible. El índice inicial puede cambiar según cómo esté definida la sucesión.
Nota. Incluso si la sumatoria no comienza en uno (\( i \ne 1 \)), las sumas parciales se siguen numerando desde uno. Por ejemplo, si la suma empieza en \( i=2 \) $$ s_n = \sum_{i=2} a_i $$ entonces la primera suma parcial es $$ s_1 = a_2 $$ y las siguientes son $$ s_2 = a_2+a_3 \\ s_3 = a_2+a_3+a_4 \\ \vdots $$
Ejemplo de una serie numérica
Considera la sucesión an:
$$ a_n = 2n $$
Sus primeros términos son:
$$ 2, 4, 6, 8, 10, ... $$
Las sumas parciales de la serie sn son:
$$ s_1 = 2 $$
$$ s_2 = 2+4 = 6 $$
$$ s_3 = 2+4+6 = 12 $$
$$ s_4 = 2+4+6+8 = 20 $$
$$ s_5 = 2+4+6+8+10 = 30 $$
Por tanto, la sucesión de sumas parciales queda:
$$ s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, ... , s_n $$
$$ 2, 6, 12, 20, 30, ... , s_n $$
En el gráfico siguiente se representa la sucesión de sumas parciales (en rojo) en el plano cartesiano.
¿Cuál es la diferencia entre una serie y una sucesión? Una sucesión es una lista ordenada de términos individuales ak. En cambio, una serie es la sucesión de sumas parciales sk que se obtiene al sumar progresivamente los términos de una sucesión. Por ejemplo, el tercer término de la sucesión es a3 = 6, mientras que la tercera suma parcial es s3 = a1 + a2 + a3 = 2 + 4 + 6 = 12.
Series infinitas
Una serie se denomina serie infinita cuando n = ∞.
$$ \sum_{k=1}^∞ a_k $$
Una serie infinita se define como el límite de la sucesión de sumas parciales sn cuando n tiende a infinito:
$$ \lim_{n \rightarrow ∞} s_n $$
¿Por qué es relevante el límite de una serie?
El límite determina el comportamiento de la serie, es decir, si converge, diverge o no tiene un valor bien definido.
Nota. Una serie se considera regular si es convergente o divergente. Si no presenta ninguno de estos comportamientos, se denomina serie irregular (divergente oscilante).
Convergencia de una serie
El comportamiento de una serie indica si converge, diverge o no admite límite.
- Serie convergente. Una serie converge si el límite de la sucesión de sumas parciales existe y es un número finito. En ese caso, sn tiende a un valor finito S cuando n→∞, llamado suma de la serie: $$ \lim_{n \rightarrow ∞} s_n = S $$
Nota. La suma de la serie coincide con la suma infinita de los términos de la sucesión an: $$ S = \sum_{k=1}^∞ a_k $$
- Serie divergente. Una serie diverge si el límite de la sucesión de sumas parciales tiende a infinito positivo o negativo: $$ \lim_{n \rightarrow ∞} s_n = ±∞ $$
- Indeterminada. Una serie es indeterminada si el límite no existe. Este es el caso de las series irregulares.
Propiedades de las series numéricas
Las series numéricas satisfacen las propiedades distributiva y asociativa, pero, en general, no satisfacen la propiedad conmutativa.
Trabajar con series numéricas exige cierta cautela. A diferencia de lo que ocurre con las sumas finitas, pequeñas modificaciones pueden producir efectos significativos. En algunos casos, la suma y el carácter de la serie no cambian. En otros, pueden alterarse por completo.
Por eso, es fundamental tener claro qué propiedades siguen siendo válidas y cuáles dejan de aplicarse en el contexto de las series infinitas.
- Propiedad distributiva
Si cada término de una serie se multiplica por una constante real \( c \neq 0 \), el carácter de la serie (convergente o divergente) no cambia. \[ \sum_{n=1}^{\infty} c a_n = c \sum_{n=1}^{\infty} a_n \] En la práctica, esto significa que si la serie \( \sum a_n \) converge, entonces la serie \( \sum c a_n \) también converge, y su suma queda multiplicada por \( c \). Si la serie original diverge, la nueva también diverge.Ejemplo. Considera la serie geométrica: \[ \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n \] Esta serie es convergente y su suma es 2. \[ \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 2 \] Si multiplicas cada término por 3: \[ \sum_{n=0}^{\infty} 3 \left(\frac{1}{2}\right)^n \] la serie sigue siendo convergente y su suma pasa a ser \( 3 \cdot 2 = 6 \). \[ \sum_{n=0}^{\infty} 3 \left(\frac{1}{2}\right)^n = 3 \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 3 \cdot 2 = 6 \]
- Propiedad asociativa
Agrupar los términos en bloques finitos no cambia la suma de la serie. Puedes reagrupar términos consecutivos de distintas formas, siempre que cada bloque contenga un número finito de términos. Esta propiedad es válida tanto para series convergentes como divergentes.Ejemplo. Considera una serie convergente: \[ 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \cdots \] Puedes agrupar los términos así: \[ (1 + \tfrac{1}{2}) + (\tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{8}) + \cdots \] o también de esta manera: \[ 1 + (\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4}) + (\tfrac{1}{8} + \cdots) \] En ambos casos, la serie sigue siendo convergente y la suma no cambia.
- No se satisface la propiedad conmutativa
Aquí aparece la principal diferencia con las sumas finitas. En una serie numérica no se pueden reordenar los términos libremente. Cambiar el orden puede alterar la suma o incluso hacer que una serie convergente deje de serlo. Este fenómeno es típico de las series que no son absolutamente convergentes.Ejemplo. Considera la serie armónica alternante: \[ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} \cdots \] Esta serie es convergente. Sin embargo, si cambias el orden de los términos, por ejemplo colocando dos positivos seguidos de uno negativo, puedes obtener una suma distinta o incluso una serie divergente. \[ 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4} \cdots \] Este comportamiento está descrito por el teorema de reordenación de Riemann. En cambio, si una serie es absolutamente convergente, cualquier reordenación de sus términos deja invariante la suma.
En resumen, las series numéricas no se comportan como las sumas finitas.
En una serie infinita no solo importa qué términos se suman, sino también el orden en que se suman.
Y así sucesivamente.
