Criterio de la raíz para series
Sea (an) una sucesión de términos no negativos. Si existe el límite de la raíz enésima $$ l = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} $$ entonces la serie es convergente si l<1 $$ l<1 \Rightarrow \sum_{k=1}^{\infty} a_k < + \infty $$ y es divergente si l>1 $$ l>1 \Rightarrow \sum_{k=1}^{\infty} a_k = + \infty $$
El criterio de la raíz es una herramienta fundamental para estudiar si una serie infinita converge o diverge. Su idea es sencilla: analizar cómo crecen los términos de la serie mediante la raíz enésima.
Si el límite es igual a uno, el criterio de la raíz es inconcluso y no permite determinar el comportamiento de la serie.
Nota. En este caso, es necesario aplicar otro criterio de convergencia.
Un ejemplo práctico
Ejemplo 1
Determinar la naturaleza de la serie
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n } $$
Se trata de una serie de términos no negativos, por lo que podemos aplicar directamente el criterio de la raíz.
Calculamos el límite de la raíz enésima del término general:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{2^n } } $$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{\sqrt[n]{1}}{\sqrt[n]{2^n} } $$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{1}{2} = \frac{1}{2} < 1$$
El límite es menor que 1.
Por tanto, según el criterio de la raíz, la serie Σ 1/2n es una serie convergente.
Es importante destacar que la convergencia no implica que la suma sea igual a 1/2.
Verificación. El comportamiento de la serie Σ 1/2n muestra que converge hacia 1.
Ejemplo 2
Determinar la naturaleza de la siguiente serie:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ ( \log n )^{\frac{n}{2} } } $$
Aplicamos el criterio de la raíz.
Calculamos el límite de la raíz enésima del término general:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{ \frac{1}{ ( \log n )^{\frac{n}{2} } } } $$
es decir
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{1}{ ( \log n )^{\frac{n}{2} } } \right]^{\frac{1}{n}} $$
Tras simplificar algebraicamente, se obtiene:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{ ( \log n )^{\frac{1}{2} } } $$
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} ( \log n )^{ - \frac{1}{2} } $$
El límite tiende a cero cuando n→∞
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} ( \log n )^{ - \frac{1}{2} } = 0 < 1 $$
En consecuencia, por el criterio de la raíz, la serie es convergente, ya que el valor del límite es menor que 1.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{ ( \log n )^{\frac{n}{2} } } = \text{convergente} $$
A continuación se muestra una representación gráfica de la serie
Como cabía esperar, la serie es efectivamente convergente.
Demostración
1] Caso convergente
Si el límite es menor que 1,
$$ l = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} < 1 $$
elegimos ε>0 tal que
$$ l+ε < 1 $$
Por la definición de convergencia de una sucesión, existe un índice v tal que para todo n>v
$$ \sqrt[n]{a_n} < l+ε $$
es decir
$$ a_n < (l+ε)^n $$
Esto permite establecer una comparación entre sucesiones.
Sumando miembro a miembro, se obtienen las series correspondientes:
$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n < \sum_{n=1}^{\infty} (l+ε)^n $$
La serie de la derecha es una serie geométrica.
Una serie geométrica converge cuando su razón es menor que 1, condición que se cumple aquí ya que l+ε<1.
Si la serie de la derecha converge a un valor finito l', entonces, por el criterio de comparación directa, la serie de la izquierda también converge.
$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n < l' $$
Queda así demostrada la convergencia de la serie.
2] Caso divergente
Si el límite es mayor que 1,
$$ l = \lim_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{a_n} > 1 $$
existe un índice v tal que para todo n>v
$$ \forall n>v \in \mathbb{N} \: : \: \sqrt[n]{a_n} > 1 $$
es decir
$$ \forall n>v \in \mathbb{N} \: : \: (\sqrt[n]{a_n})^n > 1 $$
$$ \forall n>v \in \mathbb{N} \: : \: a_n > 1 $$
Por consiguiente, la sucesión an no tiende a cero.
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} a_n \ne 0 $$
Se incumple así la condición necesaria de convergencia de una serie.
En consecuencia, la serie es divergente.
Nota. Dado que la sucesión an está formada por términos no negativos, la serie correspondiente también tiene términos no negativos y, por tanto, siempre admite un límite finito o infinito. En consecuencia, la serie o bien converge o bien diverge. No puede presentar un comportamiento indeterminado. Si no converge, necesariamente diverge.
Y así sucesivamente.
