Criterio del límite asintótico para series numéricas

Sea $ a_n $ una sucesión de términos no negativos, y sea $ p \in \mathbb{R} $. Supongamos que existe el límite $$ l = \lim_{n \rightarrow \infty} n^p \cdot a_n $$ (posiblemente infinito). Entonces, la serie $ \sum a_n $ es convergente si $$ l < +\infty \:\:\text{y}\:\: p>1 $$ y es divergente si $$ l > 0 \:\:\text{y}\:\: p \le 1 $$

Este criterio permite decidir rápidamente si una serie converge o diverge observando cómo se comporta su término general cuando $ n $ crece. La idea es comparar $ a_n $ con una potencia de $ n $.

Ejemplos
Demostración

Ejemplos

Ejemplo 1

Estudiemos la serie

$$ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+1}{2n^3-1} $$

Consideramos su término general

$$ a_n = \frac{n+1}{2n^3-1} $$

Aplicamos el criterio con $ p=2 $ y calculamos

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} n^2 \cdot a_n $$

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} n^2 \cdot \frac{n+1}{2n^3-1} $$

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^3+n^2}{2n^3-1} = \frac{ \infty }{ \infty } $$

Se trata de una forma indeterminada del tipo $ \infty/\infty $.

Aplicamos la regla de L'Hôpital:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3n^2+2n}{6n^2} = \frac{ \infty }{ \infty } $$

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{6n+2}{12n} = \frac{ \infty }{ \infty } $$

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $$

El límite existe y es finito.

Como $ p>1 $ y $ l<\infty $, el criterio garantiza que la serie es convergente.

$$ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n+1}{2n^3-1} $$

La siguiente figura muestra su representación gráfica.

representación gráfica de una serie convergente según el criterio del límite asintótico

Ejemplo 2

Ahora consideremos la serie

$$ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n-1}{n+1} $$

Su término general es

$$ a_n = \frac{n-1}{n+1} $$

Probamos primero con $ p=2 $:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} n^2 \cdot a_n $$

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} n^2 \cdot \frac{n-1}{n+1} $$

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^3-n^2}{n+1} = \frac{ \infty }{ \infty } $$

Aplicamos de nuevo la regla de L'Hôpital:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{3n^2-2n}{1} = \infty $$

El límite diverge. En este caso, con $ p>1 $, el criterio no permite decidir.

Entonces probamos con $ p=1 $:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} n \cdot a_n $$

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} n \cdot \frac{n-1}{n+1} $$

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n^2-n}{n+1} = \frac{ \infty }{ \infty } $$

Aplicando nuevamente L'Hôpital:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{2n-1}{1} = +\infty $$

El límite es infinito y $ p \le 1 $. Por tanto, la serie es divergente.

$$ \sum_{n=1}^{ \infty } \frac{n-1}{n+1} = + \infty $$

La figura siguiente muestra su comportamiento gráfico.

representación gráfica de una serie divergente según el criterio del límite asintótico

Demostración

A] Caso convergente

Supongamos que $ l = \lim_{n \rightarrow \infty} n^p a_n $ existe y es finito, con $ p>1 $.

Entonces, para todo $ \varepsilon > 0 $, existe un índice $ N $ tal que, para todo $ n > N $,

$$ n^p \cdot a_n < l + \varepsilon $$

Tomando $ \varepsilon = 1 $, resulta

$$ n^p \cdot a_n < l + 1 $$

Por tanto, para todo $ n > N $, se cumple

$$ 0 \le a_n < \frac{l+1}{n^p} $$

Sumando término a término:

$$ 0 \le \sum_{n=1}^{\infty} a_n < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{l+1}{n^p} $$

La serie del segundo miembro es una serie p, que converge si $ p>1 $.

Por el criterio de comparación directa, la serie $ \sum a_n $ es convergente.

B] Caso divergente

Supongamos que $ l = \lim_{n \rightarrow \infty} n^p a_n \ne 0 $, con $ p \le 1 $.

Entonces existe un índice $ N $ tal que, para todo $ n > N $,

$$ n^p \cdot a_n > \frac{l}{2} $$

lo que implica

$$ a_n > \frac{l}{2} \cdot \frac{1}{n^p} $$

Sumando término a término:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n > \sum_{n=1}^{\infty} \frac{l}{2} \cdot \frac{1}{n^p} $$

La serie del segundo miembro es una serie p, que diverge si $ p \le 1 $.

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = +\infty $$

Por tanto, la serie $ \sum a_n $ es divergente.