Serie geométrica infinita
La serie geométrica es una de las series más importantes en matemáticas y se define como: $$ \sum_{k=0}^{\infty} x^k = 1 + x + x^2 + \dots $$
Su comportamiento depende del valor de $x$, que se denomina razón común. Este parámetro determina si la suma de infinitos términos produce un valor finito o crece sin límite.
- x ≥ 1: la serie diverge
- |x| < 1: la serie converge
- x ≤ -1: la serie diverge
Criterio de convergencia. Cuando $-1 < x < 1$, la serie geométrica infinita converge y su suma viene dada por: $$ \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1 - x} $$
Un ejemplo práctico
1] Razón común positiva
Si la razón es positiva ($x > 0$), todos los términos de la serie son no negativos. Esto simplifica el análisis, ya que una serie de este tipo solo puede comportarse de dos maneras: o converge a un valor finito o diverge hacia infinito.
Distinguimos dos situaciones: $x \ge 1$ y $0 < x < 1$.
Caso: $x \ge 1$ - la serie diverge
Para estudiar la convergencia, observamos el comportamiento del término general:
$$ \lim_{k \rightarrow \infty} x^k $$
Si $x > 1$, se obtiene:
$$ \lim_{k \rightarrow \infty} x^k = +\infty $$
y si $x = 1$:
$$ \lim_{k \rightarrow \infty} 1^k = 1 $$
En ambos casos, el término general no tiende a cero. Como esta es una condición necesaria para la convergencia, concluimos que la serie no converge.
Por tanto, para $x \ge 1$, la serie es divergente:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=0}^{n} x^k = +\infty $$
Ejemplo. Si $x = 1.1$, los términos crecen sin límite y la serie diverge.
Incluso en el caso $x = 1$, la serie diverge, ya que los términos permanecen constantes e iguales a 1.
Caso: $0 \le x < 1$ - la serie converge
En este intervalo, el comportamiento cambia por completo. Los términos de la serie se hacen cada vez más pequeños:
$$ \lim_{k \rightarrow \infty} x^k = 0 $$
Esto permite que la suma infinita se estabilice en un valor finito.
Para calcular dicho valor, utilizamos la fórmula de las sumas parciales:
$$ \sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x} $$
Demostración. Procedemos por inducción. Caso base ($n = 1$): $$ \sum_{k=0}^{1} x^k = 1 + x = \frac{1 - x^2}{1 - x} $$ Supongamos que la fórmula es válida para $n$: $$ \sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x} $$ Entonces: $$ \sum_{k=0}^{n+1} x^k = \left( \sum_{k=0}^{n} x^k \right) + x^{n+1} = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x} + x^{n+1} = \frac{1 - x^{n+2}}{1 - x} $$ Por tanto, la fórmula es válida para todo $n \in \mathbb{N}$.
Al pasar al límite cuando $n \to \infty$, el término $x^{n+1}$ tiende a cero, y obtenemos:
$$ \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1 - x} $$
Se trata de una serie convergente.
Ejemplo. Para $x = 0.6$, los términos decrecen hacia cero y la serie converge. Su suma es: $$ \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1 - 0.6} = 2.5 $$ A continuación se muestra el gráfico de la serie y de sus términos.
2] Razón común negativa
Si $x < 0$, los términos de la serie cambian de signo y la serie se vuelve alternante. En este caso, el análisis requiere algo más de atención.
Seguimos partiendo de la expresión de las sumas parciales:
$$ \sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x} $$
Distinguimos dos situaciones:
Caso: $-1 < x < 0$ - la serie converge
En este intervalo, los términos siguen acercándose a cero en valor absoluto:
$$ \lim_{k \rightarrow \infty} x^k = 0 $$
Por tanto, al tomar el límite de las sumas parciales, obtenemos:
$$ \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1 - x} $$
Aunque la serie oscila, su suma se estabiliza en un valor finito.
Ejemplo. Si $x = -0.8$, los términos alternan de signo y tienden a cero. La serie converge a: $$ \sum_{k=0}^{\infty} x^k = \frac{1}{1 - (-0.8)} = 0.55 $$ A continuación se muestra el gráfico correspondiente.
Caso: $x \le -1$ - la serie es indefinida
Partimos de la expresión de las sumas parciales: $$ \sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1 - x^{n+1}}{1 - x} $$
Cuando $x \le -1$, el término $x^{n+1}$ no se estabiliza en ningún valor. En lugar de ello, oscila y su magnitud crece sin límite, según si $n$ es par o impar.
Esto implica que las sumas parciales no se aproximan a ningún número concreto. En consecuencia, el límite no existe y la serie es indefinida.
Por tanto, para $x \le -1$, la serie geométrica se considera una series divergente oscilante (irregulare).
Ejemplo. Si $x = -1.1$, los términos no convergen y la serie presenta oscilaciones cada vez más amplias. Por este motivo, no se puede asociar a ningún valor finito.
El mismo fenómeno se observa cuando $x = -1$.
Y así sucesivamente.
