Ejercicios de series numéricas

Una selección de ejercicios resueltos sobre series infinitas:

ejercicio	$ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n-1} $
ejercicio	$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2n+1} $
ejercicio	$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 1}{2^n} $
ejercicio	$ \sum_{n=1}^\infty \frac{2n + 1}{n} $
ejercicio	$ \sum_{k=1}^{+\infty} \sqrt[k]{3} $
ejercicio	$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k(k+1)} $

 

Estudio paso a paso de la serie numérica $ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n-1} $

En este ejercicio analizamos la serie numérica

\[ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n-1} \]

El índice de sumación comienza en \( n=2 \) para evitar una división por cero en el denominador.

Para estudiar la convergencia de la serie, lo más útil es simplificar primero el término general. Observando la expresión, podemos reescribir el numerador \( n+1 \) como \( n-1+2 \):

$$ \frac{n+1}{n-1} = \frac{n - 1 + 2}{n - 1} $$

$$ \frac{n+1}{n-1} = \frac{(n - 1) + 2}{n - 1} $$

$$ \frac{n+1}{n-1} = \frac{n-1}{n-1} + \frac{2}{n - 1} $$

$$ \frac{n+1}{n-1} = 1 + \frac{2}{n - 1} $$

Gracias a esta transformación, la serie original puede escribirse de una forma mucho más sencilla:

$$ \sum_{n=2}^{\infty} \left(1 + \frac{2}{n - 1}\right) $$

Aplicando la linealidad de las series, obtenemos:

$$ \sum_{n=2}^{\infty} 1 + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{n - 1} $$

$$ = \sum_{n=2}^{\infty} 1 + 2 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n - 1} $$

Ahora el comportamiento de la serie resulta mucho más fácil de identificar.

La primera serie, \( \sum_{n=2}^{\infty} 1 \), es una suma infinita de términos constantes iguales a 1. Por tanto, diverge inmediatamente.

La segunda serie, \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n - 1} \), es una serie armónica desplazada un índice, tomando \( k=n-1 \). Como la serie armónica es divergente, esta segunda serie también diverge.

En consecuencia, ambas partes de la descomposición son divergentes:

$$ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n-1} = \underbrace{ \sum_{n=2}^{\infty} 1}_{\text{divergente}} + 2 \underbrace{ \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n - 1} }_{\text{divergente}} $$

Por lo tanto, concluimos que la serie numérica \( \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n+1}{n-1} \) es divergente.

Análisis de la convergencia de la serie \( \frac{n}{2n+1} \) paso a paso

En este ejercicio vamos a estudiar la convergencia de la serie

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2n+1} \]

El objetivo es determinar si la suma infinita de sus términos converge hacia un valor finito o, por el contrario, diverge.

Para comenzar, analizamos el término general de la serie:

\[ a_n = \frac{n}{2n+1} \]

Cuando se estudia una serie numérica, una de las primeras verificaciones consiste en comprobar si el término general tiende a cero cuando \( n \to \infty \). Esta es una condición necesaria para la convergencia.

Por tanto, calculamos el siguiente límite:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{n}{2n+1} \]

Recordemos la condición necesaria de convergencia:

Si una serie \( \sum a_n \) converge, entonces necesariamente debe cumplirse que

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \]

En consecuencia, si el límite del término general es distinto de cero, la serie diverge automáticamente.

Para calcular el límite, dividimos numerador y denominador entre \( n \):

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{n}} \]

Como \( \frac{1}{n} \to 0 \) cuando \( n \to \infty \), obtenemos:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{n}} = \frac{1}{2 + 0} = \frac{1}{2} \]

Por tanto, el límite del término general es

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \frac{1}{2} \neq 0 \]

Esto significa que los términos de la serie no tienden a cero, aunque sean positivos.

Dado que no se cumple la condición necesaria de convergencia, concluimos que la serie

\[ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2n+1} \]

es divergente.

Ejercicio: análisis de la serie numérica $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 1}{2^n} $

Estudiemos el comportamiento de la serie:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 1}{2^n} $$

El término general de la serie es:

$$ a_n = \frac{2^n - 1}{2^n} $$

Antes de analizar la convergencia, conviene simplificar la expresión:

$$ a_n = \frac{2^n - 1}{2^n} = \frac{2^n}{2^n} - \frac{1}{2^n} = 1 - \frac{1}{2^n} $$

Ahora calculemos el límite de la sucesión \( a_n \) cuando \( n \to \infty \):

$$ \lim_{n \to \infty} a_n $$

$$ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) $$

$$ \lim_{n \to \infty} 1 - \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^n} = 1 - 0 = 1 $$

El resultado es muy importante. Para que una serie pueda converger, es necesario que su término general tienda a cero. En este caso ocurre lo contrario:

$$ \lim_{n \to \infty} a_n = 1 $$

Como el límite no es cero, la condición necesaria de convergencia no se cumple. Por tanto, la serie es divergente.

También es posible entender esta divergencia reescribiendo la serie como diferencia de dos series más simples:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} a_n = \sum_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{2^n}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} 1 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} $$

La primera serie diverge claramente porque suma infinitos términos iguales a uno:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} 1 = 1 + 1 + 1 + \cdots $$

En cambio, la segunda es una serie geométrica convergente:

$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} $$

Dado que la parte divergente domina el comportamiento total, concluimos que:

La serie es divergente.

Cómo analizar la convergencia de la serie \( \sum_{n=1}^\infty \frac{2n + 1}{n} \)

Queremos estudiar si la serie

\[ \sum_{n=1}^\infty \frac{2n + 1}{n} \]

converge o diverge.

El primer paso consiste en examinar el término general de la serie:

\[ a_n = \frac{2n + 1}{n} \]

Simplificando la expresión obtenemos:

\[ a_n = \frac{2n}{n} + \frac{1}{n} = 2 + \frac{1}{n} \]

Por lo tanto, cada término de la serie puede escribirse como:

\[ a_n = 2 + \frac{1}{n} \]

Para determinar si una serie infinita converge, existe una condición fundamental que siempre debe cumplirse: el término general debe tender a cero cuando \( n \to \infty \).

Calculemos entonces el límite del término general:

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left(2 + \frac{1}{n} \right) = 2 \]

El resultado muestra que el término general no se aproxima a cero, sino a 2:

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = 2 \ne 0 \]

Como esta condición necesaria de convergencia no se cumple, podemos concluir inmediatamente que la serie es divergente.

Este resultado se obtiene aplicando el criterio de divergencia, también llamado criterio del término general.

Estudio de la serie $ \sum_{k=1}^{+\infty} \sqrt[k]{3} $

Analicemos la serie infinita

$$ \sum_{k=1}^{+\infty} \sqrt[k]{3} $$

Para determinar si la serie converge o diverge, comenzamos estudiando su término general:

$$ a_k = \sqrt[k]{3} = 3^{1/k} $$

Es decir, cada término de la sucesión puede escribirse como una potencia con exponente fraccionario:

$$ a_k = 3^{1/k} $$

El siguiente paso consiste en analizar qué ocurre con este término cuando \( k \to \infty \):

$$ \lim_{k \to \infty} 3^{1/k} $$

Para calcular el límite, resulta útil reescribir la expresión en forma exponencial:

$$ \lim_{k \to \infty} e^{\ln(3^{1/k})} $$

Aplicando la propiedad de los logaritmos \( \ln(a^b) = b \ln a \), obtenemos:

$$ \lim_{k \to \infty} e^{\frac{1}{k}\ln 3} $$

Como \( \ln 3 \) es una constante y \( \frac{1}{k} \to 0 \) cuando \( k \to \infty \), el exponente tiende a cero. Por lo tanto,

$$ \lim_{k \to \infty} e^{\frac{1}{k}\ln 3} = e^0 = 1 $$

Esto significa que el término general de la serie no tiende a cero:

$$ \lim_{k \to \infty} a_k = 1 $$

Y este detalle es fundamental. Según el criterio necesario de convergencia, una serie infinita \( \sum a_k \) solo puede converger si su término general cumple:

$$ \lim_{k \to \infty} a_k = 0 $$

En este caso la condición no se cumple, ya que:

$$ \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{3} = 1 \ne 0 $$

Por consiguiente, la serie

$$ \sum_{k=1}^{+\infty} \sqrt[k]{3} $$

es divergente.

Con esto concluye el análisis de la serie.

Análisis de la serie $ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k(k+1)} $

Analicemos la convergencia de la siguiente serie:

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k(k+1)} $$

El término general es:

$$ a_k = \frac{(-1)^k}{k(k+1)} $$

Como aparece el factor $(-1)^k$, el signo de los términos alterna entre positivo y negativo. Por tanto, estamos ante una serie alternante.

Para estudiar su convergencia utilizamos el criterio de Leibniz, que se aplica a las series de la forma

$$ \sum_{k=1}^\infty (-1)^k b_k $$

donde $b_k \ge 0$.

Según este criterio, la serie converge si se cumplen dos condiciones:

1. La sucesión $b_k$ es decreciente a partir de cierto índice.
2. El límite de $b_k$ cuando $k \to \infty$ es cero.

En nuestro caso,

$$ b_k = \frac{1}{k(k+1)} $$

Veamos primero el límite:

$$ \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k(k+1)} = 0 $$

La segunda condición queda satisfecha.

Ahora comprobamos que la sucesión es decreciente comparando dos términos consecutivos:

$$ b_k = \frac{1}{k(k+1)} \quad \text{y} \quad b_{k+1} = \frac{1}{(k+1)(k+2)} $$

Se cumple que:

$$ \frac{1}{k(k+1)} > \frac{1}{(k+1)(k+2)} $$

para todo $k \ge 1$.

Por tanto, la sucesión $\{b_k\}$ es decreciente y también se cumple la primera condición del criterio de Leibniz.

Concluimos así que la serie converge.

¿La convergencia es absoluta?

Para responder a esta pregunta debemos estudiar la serie de los valores absolutos:

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^k}{k(k+1)} \right| = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k(k+1)} $$

Esta serie puede simplificarse mediante una descomposición en fracciones parciales.

Escribimos:

$$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1} $$

Multiplicando ambos miembros por $k(k+1)$ obtenemos:

$$ 1 = A(k+1) + Bk $$

Desarrollando:

$$ 1 = Ak + A + Bk $$

agrupamos los términos semejantes:

$$ 1 = k(A+B) + A $$

Ahora igualamos coeficientes:

$$ \begin{cases} A + B = 0 \\ A = 1 \end{cases} $$

De donde se obtiene:

$$ \begin{cases} A = 1 \\ B = -1 \end{cases} $$

Por tanto,

$$ \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} $$

Sustituyendo esta expresión en la serie:

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1} \right) $$

Obtenemos una serie telescópica. Al desarrollar los primeros términos aparece una cancelación sucesiva:

$$ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) + \cdots $$

y por tanto:

$$ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \cdots = 1 $$

La serie de los valores absolutos converge, así que la serie original es absolutamente convergente.

Y así sucesivamente.