Suma de los n primeros números naturales
La serie que permite calcular la suma de los n primeros números naturales viene dada por $$ s_n = \sum_{k=1}^n k $$
Esta es una de las ideas más simples y útiles de las matemáticas. Plantea una pregunta directa: ¿cuánto vale la suma de todos los números desde 1 hasta n?
Antes de ver la fórmula general, conviene observar algunos casos concretos.
$$ s_1 = 1 \\ s_2 = 1 + 2 = 3 \\ s_3 = 1 + 2 + 3 = 6 \\ s_4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10 \\ s_5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \\ \vdots $$
De este modo, la sucesión de sumas parciales es:
$$ 1 \: , \: 3 \: , \: 6 \: , \: 10 \: , \: 15 \: , \: \dots $$
Estos valores muestran un patrón claro, que puede describirse con una fórmula sencilla.
Fórmula de Gauss
El problema de sumar enteros consecutivos se asocia a Gauss, quien reconoció que estas sumas siguen una estructura muy regular.
En lugar de sumar término a término, puede utilizarse una expresión directa conocida como fórmula de Gauss:
$$ s_n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} $$
Esta fórmula permite obtener el resultado de inmediato, incluso para valores grandes de n. Por ejemplo:
$$ s_1 = \frac{1(1+1)}{2} = 1 $$
$$ s_2 = \frac{2(2+1)}{2} = 3 $$
$$ s_3 = \frac{3(3+1)}{2} = 6 $$
$$ s_4 = \frac{4(4+1)}{2} = 10 $$
$$ s_5 = \frac{5(5+1)}{2} = 15 $$
Comprobar algunos casos ayuda a intuir que la fórmula es correcta, pero no basta para justificarla en general.
$$ s_n = \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} $$
Para demostrar que esta expresión es válida para todo número natural, se utiliza el principio de inducción matemática.
Caso base
Se verifica primero el caso más sencillo, n = 1.
$$ P(1) \: : \: \sum_{k=1}^1 k = \frac{1(1+1)}{2} = 1 $$
La igualdad es cierta, por lo que el punto de partida queda establecido.
Hipótesis de inducción
Se supone ahora que la fórmula es válida para un número natural n cualquiera.
$$ P(n) \: : \: \sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2} $$
Paso inductivo
El siguiente paso consiste en demostrar que también se cumple para n + 1.
Se suma n + 1 a ambos miembros de la igualdad anterior:
$$ P(n+1) \: : \: \sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{n(n+1)}{2} + (n+1) $$
$$ P(n+1) \: : \: \sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{n(n+1) + 2(n+1)}{2} $$
$$ P(n+1) \: : \: \sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{(n+1)(n+2)}{2} $$
Se obtiene exactamente la misma fórmula al sustituir n por n + 1, lo que confirma el paso inductivo.
Nota. Si se introduce la variable auxiliar z = n + 1, la estructura se ve con mayor claridad. $$ P(n+1) \: : \: \sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{(n+1)(n+2)}{2} $$ $$ P(n+1) \: : \: \sum_{k=1}^{n+1} k = \frac{(n+1)(n+1+1)}{2} $$ $$ P(z) \: : \: \sum_{k=1}^{z} k = \frac{z(z+1)}{2} \:\:\:\:\: con \: z=n+1 $$
Por tanto, la proposición es válida para n + 1.
Aplicando el principio de inducción matemática, la fórmula de Gauss queda demostrada para todo número natural n.
Y así sucesivamente.
