Desarrollo en serie de Taylor
Sea f(x) una función definida en un intervalo [x0 - δ, x0 + δ] en torno a un punto x0, con δ > 0, y supongamos que es infinitamente derivable. Diremos que la función admite un desarrollo en serie de Taylor si, para todo x del intervalo, la serie converge: $$ \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k $$ y su suma coincide con la propia función: $$ f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k. $$
Finalidad y aplicaciones
El desarrollo en serie de Taylor nace de la fórmula de Taylor y constituye una de las herramientas más potentes del análisis matemático.
Su idea es sencilla pero profunda: aproximar una función mediante un polinomio que reproduce su comportamiento cerca de un punto x0. Este polinomio Pn se construye a partir de una serie numérica y permite trabajar con funciones complejas de forma mucho más manejable.
Teorema de Taylor
Para que una función pueda desarrollarse en serie de Taylor, debe cumplirse el siguiente resultado:
Una función f(x) puede expresarse como una serie de Taylor centrada en x0 si existe un δ > 0 tal que f(x) es infinitamente derivable en [x0 - δ, x0 + δ] y existe una constante M tal que, para todo n, $$ |f^{(n)}(x)| \le M \quad \forall x \in [x_0 - δ, x_0 + δ]. $$
Demostración
La fórmula de Taylor se compone de dos partes: una suma parcial de orden n y un término de error Rn(x), conocido como resto de Peano:
$$ s_n + R_n(x) $$
Por tanto, la función puede escribirse como:
$$ f(x) = s_n + R_n(x) $$
para todo x en el intervalo (x0 - δ, x0 + δ).
Nota. El resto de Peano Rn(x) mide el error que se comete al aproximar f(x) mediante el polinomio de Taylor. $$ f(x) - s_n = R_n(x) $$
Sabemos que f(x) es infinitamente derivable y que sus derivadas están acotadas por una constante M. Esto permite estimar el tamaño del error:
$$ |R_n(x)| \le M \cdot \frac{|x - x_0|^{n+1}}{(n+1)!} $$
Si además se cumple que |x - x0| < δ, entonces:
$$ |R_n(x)| \le M \cdot \frac{\delta^{n+1}}{(n+1)!}. $$
Esta desigualdad es clave, porque muestra que el error se hace cada vez más pequeño al aumentar n.
De hecho, al tomar el límite cuando n tiende a infinito:
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} |R_n(x)| = 0. $$
Esto implica que las sumas parciales sn(x) se aproximan cada vez mejor a la función:
$$ f(x) = s_n + R_n(x) $$
$$ f(x) - R_n(x) = s_n $$
y, en el límite:
$$ f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n. $$
En otras palabras, la serie de Taylor converge hacia la función en el entorno de x0.
Ejemplo práctico
Consideremos la función seno:
$$ f(x) = \sin x $$
Se trata de una función infinitamente derivable, y además todas sus derivadas están acotadas por M ≤ 1. Por ello, admite un desarrollo en serie de Taylor.
Elegimos como punto de desarrollo x0 = 0.
Nota. Este caso particular recibe el nombre de serie de Maclaurin. Elegir x0 = 0 simplifica considerablemente los cálculos.
Calculamos los primeros términos:
Para k = 0:
$$ \frac{\sin 0}{0!} (x - 0)^0 = 0 $$
Para k = 1:
$$ \frac{\cos 0}{1!} (x - 0)^1 = x $$
Para k = 2:
$$ \frac{-\sin 0}{2!} (x - 0)^2 = 0 $$
Para k = 3:
$$ \frac{-\cos 0}{3!} (x - 0)^3 = -\frac{x^3}{3!} $$
Para k = 4:
$$ \frac{\sin 0}{4!} (x - 0)^4 = 0 $$
Para k = 5:
$$ \frac{\cos 0}{5!} (x - 0)^5 = \frac{x^5}{5!} $$
Sumando estos términos, obtenemos:
$$ \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} $$
Este polinomio proporciona una excelente aproximación de la función seno cerca de x0 = 0.
El siguiente gráfico muestra el polinomio de Taylor (en negro) y la función f(x) = sin x (en rojo):
Como puede verse, la aproximación es muy buena en torno al origen, especialmente en el intervalo entre -2 y +2.
Nota. Si se añaden más términos a la serie, por ejemplo hasta k = 10 o k = 20, la aproximación mejora notablemente y es válida en un intervalo cada vez más amplio.
Y así sucesivamente.
