Serie p (serie armónica generalizada)

La serie p se define como $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p} $$ donde p es un número real positivo.

La serie p es uno de los ejemplos más importantes en análisis matemático, porque muestra con claridad cómo el valor de un exponente puede determinar por completo el comportamiento de una serie infinita.

• Si p≤1, la serie diverge
• Si p>1, la serie converge

Un ejemplo para entenderlo mejor

Consideremos la serie p en el caso p=1.

En este caso se obtiene la serie armónica, un ejemplo clásico de serie divergente.

Si tomamos valores de p entre 0 y 1, la serie p sigue siendo divergente.

Por ejemplo, cuando p=0.5, la gráfica de la función asociada es la siguiente.

En cambio, cuando p es mayor que 1, la situación cambia por completo y la serie se vuelve convergente.

Por ejemplo, cuando p=2, la gráfica de la función asociada es la siguiente.

Demostración

Para justificar este resultado distinguimos tres casos:

• p=1
• p>1
• p<1

Caso p=1 (serie armónica)

Consideremos el intervalo [k, k+1].

Para todo x perteneciente al intervalo [k, k+1] se cumple

$$ k \le x \le k+1 $$

De esta relación se deduce que

$$ \frac{1}{(k+1)^p} \le \frac{1}{x^p} \le \frac{1}{k^p} \:\:\: \forall x \in [k,k+1] $$

En particular, para todo x>k se tiene

$$ \frac{1}{x^p} \le \frac{1}{k^p} $$

Integramos ambos miembros en el intervalo [k,k+1]:

$$ \int_k^{k+1} \frac{1}{x^p} \:dx \le \int_k^{k+1} \frac{1}{k^p} \:dx $$

Puesto que 1/k^p es constante respecto a x, puede factorizarse fuera de la integral:

$$ \int_k^{k+1} \frac{1}{x^p} \:dx \le \frac{1}{k^p} \int_k^{k+1} \:dx $$

La integral del segundo miembro es igual a 1, por lo que

$$ \int_k^{k+1} \frac{1}{x^p} \:dx \le \frac{1}{k^p} $$

Esta desigualdad tiene una interpretación geométrica sencilla: el área bajo la curva y=1/x en el intervalo [k,k+1] es menor que el área de un rectángulo de base 1 y altura 1/k.

Sumamos ahora ambos miembros para k desde 1 hasta n:

$$ \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{1}{x^p} \:dx \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^p} $$

Para p=1, esto se escribe como

$$ \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{1}{x} \:dx \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$

La suma de las integrales puede expresarse como una única integral:

$$ \int_1^{n+1} \frac{1}{x} \:dx \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$

Evaluando la integral se obtiene

$$ \log (n+1) - \log(1) \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$

Como log(1)=0, resulta

$$ \log (n+1) \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$

El segundo miembro es la suma parcial n-ésima de la serie armónica.

Al hacer tender n a infinito en ambos miembros, se obtiene

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \log (n+1) \le \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$

Dado que el logaritmo crece sin límite, se concluye que

$$ \infty \le \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} $$

Por tanto, la serie armónica es divergente.

Caso p>1 (serie convergente)

Consideremos el intervalo [k, k+1].

Para todo x en este intervalo se cumple

$$ k \le x \le k+1 $$

De aquí se deduce la siguiente desigualdad clave:

$$ \frac{1}{(k+1)^p} \le \frac{1}{x^p} \le \frac{1}{k^p} \:\:\: \forall x \in [k,k+1] $$

Ahora integramos cada término en el intervalo [k,k+1]:

$$ \int_k^{k+1} \frac{1}{(k+1)^p} \: dx \le \int_k^{k+1} \frac{1}{x^p} \: dx \le \int_k^{k+1} \frac{1}{k^p} \: dx $$

Como los extremos son constantes respecto a x, podemos escribir:

$$ \frac{1}{(k+1)^p} \int_k^{k+1} \: dx \le \int_k^{k+1} \frac{1}{x^p} \: dx \le \frac{1}{k^p} \int_k^{k+1} \: dx $$

Evaluando las integrales, se obtiene

$$ \frac{1}{(k+1)^p} \le \int_k^{k+1} \frac{1}{x^p} \: dx \le \frac{1}{k^p} $$

Este resultado permite comparar cada término de la serie con el área bajo la curva.

Sumando ahora para k desde 1 hasta n, se obtiene

$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{(k+1)^p} \le \sum_{k=1}^n \int_k^{k+1} \frac{1}{x^p} \: dx \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^p} $$

La suma de integrales puede escribirse como una única integral:

$$ \sum_{k=1}^n \frac{1}{(k+1)^p} \le \int_1^{n+1} \frac{1}{x^p} \: dx \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^p} $$

Explicación. Al sumar las integrales $$ \int_{1}^{2} + \int_{2}^{3} + \cdots + \int_{n}^{n+1} $$ se obtiene exactamente el área bajo la curva y=1/x^p desde 1 hasta n+1, es decir, $$ \int_{1}^{n+1} \frac{1}{x^p} \: dx $$

Sea s_n la suma parcial n-ésima de la serie armónica:

$$ s_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} $$

Entonces, la suma del lado izquierdo puede reescribirse como

$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} = s_{n+1} - 1 $$

Sustituyendo en la desigualdad, se obtiene

$$ s_{n+1} - 1 \le \int_1^{n+1} \frac{1}{x^p} \: dx \le \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^p} $$

Por tanto,

$$ s_{n+1} - 1 \le \int_1^{n+1} \frac{1}{x^p} \: dx \le s_n $$

Calculamos ahora la integral:

$$ \int_1^{n+1} \frac{1}{x^p} \: dx = \left[ \frac{x^{1-p}}{1-p} \right]_1^{n+1} $$

$$ = \frac{(n+1)^{1-p}}{1-p} - \frac{1}{1-p} $$

Sustituyendo este resultado, se obtiene

$$ s_{n+1} - 1 \le \frac{(n+1)^{1-p}}{1-p} - \frac{1}{1-p} \le s_n $$

Reordenando, queda

$$ s_{n+1} \le 1 + \frac{(n+1)^{1-p}}{1-p} - \frac{1}{1-p} \le s_n $$

Ahora hacemos tender n a infinito. Como p>1, se tiene 1-p<0, y por tanto

$$ (n+1)^{1-p} \to 0 $$

Esto implica que el término central tiende a un valor finito.

En consecuencia, las sumas parciales están acotadas y, por el criterio de comparación, la serie p converge para p>1.

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p} \text{ converge para } p>1 $$

Caso p<1 (serie divergente)

Partiendo de la misma desigualdad

$$ s_{n+1} - 1 \le \frac{(n+1)^{1-p}}{1-p} - \frac{1}{1-p} \le s_n $$

y haciendo tender n a infinito, se obtiene

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)^{1-p}}{1-p} = \infty $$

ya que 1-p>0. Esto implica que las sumas parciales no están acotadas.

Por tanto, por el criterio de comparación, la serie p diverge para p<1.

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p} \text{ diverge para } p<1 $$

Caso p≤0 (serie divergente)

Si p≤0, el término general no tiende a cero:

$$ \lim_{k \to \infty} \frac{1}{k^p} \ne 0 $$

Por tanto, no se cumple la condición necesaria de convergencia y la serie diverge.

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^p} \text{ diverge para } p \le 0 $$