Series de términos no negativos
Se dice que una serie es de términos no negativos si cada uno de sus términos cumple $$ a_k \ge 0 \:\:\:\:\:\: \forall k \in \mathbb{N} $$
Si todos los términos son estrictamente mayores que cero, se denomina serie de términos positivos.
Ejemplo
Consideremos la siguiente serie
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} $$
En este caso, todos los términos son no negativos, por lo que se trata de una serie de este tipo.
Las sumas parciales se construyen de la siguiente manera
$$ a_1 = 1 \\ a_2 = 1 + \frac{1}{2} \\ a_3 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \\ a_4 = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \\ \vdots $$
A continuación se muestra su representación en el plano cartesiano
Convergencia de las series de términos no negativos
Toda serie de términos no negativos es necesariamente convergente o divergente. No puede presentar un comportamiento indeterminado
Demostración
Dado que cada término es no negativo (an ≥ 0), la sucesión de sumas parciales es monótona creciente.
$$ s_{n+1} = s_n + a_{n+1} \ge s_n $$
Por el teorema de convergencia monótona, toda sucesión creciente admite un límite, que puede ser finito o infinito.
Esto implica que la serie solo puede converger o divergir.
Ejemplos
Ejemplo 1
Consideremos nuevamente la serie
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} $$
La sucesión de sumas parciales tiene límite cuando n tiende a infinito
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} $$
Un primer paso consiste en analizar el límite del término general
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0 $$
Este resultado es necesario, pero no suficiente, para garantizar la convergencia de la serie.
Por ello, es necesario aplicar un criterio adicional.
Nota. En este caso, la serie es divergente, se trata de la serie armónica.
Ejemplo 2
Consideremos ahora la serie
$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k+1} $$
La sucesión de sumas parciales admite un límite, finito o infinito
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{k+1} $$
Analizamos el límite del término general
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{n+1} = 1 $$
En este caso, el término general no tiende a cero.
Por tanto, la serie no puede converger y, dado que no admite indeterminación, es necesariamente una serie divergente.
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{k}{k+1} = +\infty $$
A continuación se muestra su representación gráfica
Este tipo de análisis se aplica de forma análoga a muchas otras series.
