Series regulares

Una serie se denomina regular cuando es convergente o divergente. En otras palabras, el límite de la sucesión de sus sumas parciales existe cuando $n$ tiende a infinito, ya sea como un número real finito o como infinito: $$ \lim_{n \rightarrow \infty} s_n = l \in \mathbb{R} \cup \{\infty\} $$

Un ejemplo concreto

Consideremos la siguiente serie:

$$ s_n = \sum_{k=1}^n 2k $$

Calculemos las primeras sumas parciales:

$$ s_1 = 2 \\ s_2 = 2 + 4 = 6 \\ s_3 = 2 + 4 + 6 = 12 \\ s_4 = 2 + 4 + 6 + 8 = 20 \\ \vdots $$

Se observa que, al aumentar $n$, la suma crece sin cota superior:

$$ \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n 2k = \infty $$

Por tanto, aunque la serie diverge, sigue siendo una serie regular.

Este mismo criterio se aplica a cualquier serie cuya sucesión de sumas parciales tenga un límite, finito o infinito.