Series alternadas
Una serie se denomina alternada cuando el signo de cada término an cambia de positivo a negativo, o viceversa, al pasar al término siguiente an+1.
Un ejemplo para empezar
Un ejemplo clásico de serie alternada es
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} $$
Se trata de la conocida serie armónica alternada.
Si escribimos sus primeros términos, el comportamiento se vuelve evidente
$$ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + ... + (-1)^{n-1} \frac{1}{n} $$
Los signos van cambiando de forma regular, positivo, negativo, positivo, negativo, y así sucesivamente.
Esta serie converge.
Ahora bien, este comportamiento no garantiza por sí solo la convergencia. Existen series alternadas que divergen. Por eso es fundamental contar con un criterio que nos permita decidir con seguridad.
Criterio de convergencia para series alternadas
Para este tipo de series existe un resultado muy útil.
Una serie alternada converge si la sucesión de términos no negativos an (an≥0) es decreciente y su límite es cero.
Este resultado se conoce como el criterio de Leibniz.
Aplicación del criterio
Veamos cómo se aplica en la práctica con la serie armónica alternada
$$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} $$
Nos fijamos en los términos positivos, es decir, los de índice impar
$$ a_1 = 1 \\ a_3 = \frac{1}{3} \\ a_5 = \frac{1}{5} \\ \vdots $$
Estos términos forman una sucesión claramente decreciente
$$ a_{2n+1} = 1, \frac{1}{3}, \frac{1}{5}, \frac{1}{7}, ... $$
Se cumple, por tanto, la primera condición.
Nota. Si los términos no fueran decrecientes, el criterio no se podría aplicar.
Comprobamos ahora el segundo requisito
$$ \lim_{n \rightarrow \infty} a_{2n+1} = 0 $$
La sucesión tiende a cero, así que también se cumple la segunda condición.
Conclusión: la serie armónica alternada converge.
Nota. El criterio de Leibniz garantiza la convergencia, pero no proporciona el valor de la suma. Como se aprecia en el gráfico, la serie converge hacia un número distinto de cero.
Por qué funciona este criterio
La clave está en el comportamiento de las sumas parciales.
En la serie armónica alternada, las sumas parciales pares crecen
$$ s_2 \le s_4 \le s_6 \le ... \le s_{2k} $$
mientras que las impares decrecen
$$ s_1 \ge s_3 \ge s_5 \ge ... \ge s_{2k+1} $$
Esto genera dos sucesiones: una creciente y otra decreciente.
Ambas están acotadas y son monótonas, por lo que convergen.
Además, la distancia entre ellas se hace cada vez más pequeña
$$ s_{2k+1} - s_{2k} = a_{2k+1} $$
y como
$$ \lim_{k \rightarrow \infty} a_{2k+1} = 0 $$
los límites coinciden. Por eso la serie converge.
Estimación del error
Si una serie alternada converge, el error al aproximar su suma mediante sn está acotado por el siguiente término: $$ | s_n - s | \le a_{n+1} $$
Este resultado es muy útil desde el punto de vista práctico.
Significa que el error que cometemos al truncar la serie es, como máximo, igual al primer término que dejamos fuera.
Ejemplo
Volvamos a la serie armónica alternada
$$ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + ... $$
Si tomamos la suma parcial con n=2
$$ s_2 = 1 - \frac{1}{2} = 0.5 $$
El siguiente término es
$$ a_3 = \frac{1}{3} $$
Por tanto
$$ | s_2 - s | \le \frac{1}{3} $$
La suma real se encuentra a una distancia no mayor que 0.33 de 0.5.
¿Cuántos términos necesitamos?
Supongamos que queremos un error inferior al 1 por ciento.
Usamos la cota del error
$$ | s_n - s | \le a_{n+1} $$
y exigimos que
$$ \frac{1}{n+1} \le \frac{1}{100} $$
Al resolver esta condición obtenemos
$$ n = 99 $$
Por tanto, basta calcular la suma parcial s99 para garantizar esa precisión.
Por qué la cota del error es válida
Las sumas parciales pares quedan por debajo de la suma total, y las impares por encima
$$ s_{2k} \le s \le s_{2k+1} $$
Restando s2k
$$ 0 \le s - s_{2k} \le s_{2k+1} - s_{2k} $$
y como
$$ s_{2k+1} - s_{2k} = a_{2k+1} $$
el error queda acotado por el primer término no incluido.
Esta idea sencilla es la que hace que las series alternadas sean especialmente útiles en la aproximación numérica.
